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先自证一下  马上就要毕业的数学硕士狗

最近论坛里总有谈论证明0.9循环=1  因为毕业后可能当初高中老师  我也就会告诉学生思考0.3循环=1/3 那么乘以3  是不是就0.9循环等于1  是不是差了点什么？也有一些帖子给了这样的证明 

那么到底对不对呢  

关键还是在于你所把握知识的程度  如果你只有初高中的知识  或者说大学的知识忘了  那么前面这种证明方法都没有啥毛病  但实际上呢  如果你拥有完整严谨的知识体系  就知道这样不是正确的了   前面这两种方法只能用来帮助你直观理解  但你不能把他们当成是直观证明

原因是无限小数的严格表示就超出了初等数学的范围

简单点来说  实数的十进制便是唯一性不成立  也就是1有两种表达方式1.0000...和0.99999...  事实上，所有的实数，当它是有限小数（即从小数点后某位开始全是零的数）时，它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。具体证明在陶哲轩实分析一书中有详细的介绍  我也就不过多说明了

我再给一个二者相等的解释，不算严格的证明，不过比较好理解。

简单的来讲就是我们定义实数具有稠密性 即两个不相同的实数之间一定存在另一个实数 

也就是从小数学老师告诉我们的数轴上的点与实数一一对应 

而0.999循环和1之间无法找出另一个实数 所以这两者相等 

更多它们的证明

贴个李永乐老师用戴德金分割证明的视频 也不是特别严谨 https://www.ixigua.com/i6653327974609191435/#mid=4234740937贴个用实数的稠密性证的，也可以参考一下https://www.bilibili.com/video/av42960726?share_medium=android&share_source=copy_link&bbid=bVk6XmxbblloDW4McAxwinfoc&ts=1550628125910

想要最严谨证明的还是上面那本书里写的吧  就这样吧 当一个科普贴

对了  我还忘记说为什么0.3循环=1/3 乘以3为0.9循环=1是错误的了   因为没有定义无限循环小数的四则运算  也就不能使用乘法了  严格的话这里需要使用极限

0.333...是一个实数的十进制表示,它表示Cauchy序列0.3,0.33,...的极限,（根据十进制实数的定义）,也就是实数1/3  也同样可以见陶哲轩实分析

同理 这里的10A=9.999...也是不成立的

”x 不等于 y 等价于存在一个z严格介于x和y之间“

如果能理解这句话的人也不用担心弄不明白这个问题了……