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点球大战成为最近的一个热点话题。为什么大量的实践统计结果表明，点球决胜中先罚球的一方有更大的胜率？仅仅是后罚球的一方心理压力更大吗？心理活动在点球大战中确实有很大影响，但这个因素有很大的主观性，很难量化描述。最近有个帖子讲国外学者通过测试点球大战中球员的脑电波之类的来研究其心理压力，这种想法挺好，但他们的试验存在先天性不足——试验中的球员面临的压力与实际大赛中面临的压力完全不是一个量级的，这导致他们的试验条件存在显著差异，试验结论支撑论点的力度有多大存疑。

我前两天在出差途中发帖，有些表述比较仓促，也存在缺陷，导致部分网友误解，以及个别很low却自以为是的喷子搅局。今天特意重新开贴，抛开心理因素、球队资源、具体比赛偶然性等，专门从概率的角度，重新整理文字，论述在现行规则下点球大战先罚的一方赢多输少的必然性。并且，在该论述的基础上，附带声明我的几个观点：一是点球大战两队球员出场顺序的规则应该修改以更好地保证公平；二是抛开具体各队及临场情况影响的话，我认为技术过硬的点球手应该优先排在前3顺位出场，接下来再排心理素质更好、技术相对较佳的点球手。

我的分析和推理基于以下条件和假设：
1）罚球规则：A队先罚，球员出场顺序是A1B1A2B2A3B3，然后依次为A4，B4，A5，B5，A6，B6……请注意我的表述，从A4开始后面的球员未必有机会出场；
2）将球员罚点球、门将扑点球的一次竞技简化表述为球员罚点球，则每个球员罚点球的得分期望值不同，均满足0<=Ex<=Ex<=1；一旦某球员罚点球了，其实际得分值Sx只能有0或1两种结果，即Sx=0或Sx=1；3）假定A、B两支球队罚点扑点水平差异未知，假定各队不同水平罚球球员的出场顺序未知；
4）不考虑球员罚球时的身体状态和心理活动；不是否定这些因素的存在，而是暂不考虑这些很难建模和量化表征的因素；
5）在现行罚球决胜规则下，由A、B两队进行点球决胜，每决出一次胜负记为一次比赛，假定A、B两队进行点球决胜的比赛次数足够多，以此排除偶然因素干扰。那些喜欢举例某某次比赛结果如何的，请你们自行退散另找切入点讨论，你举10个20个赛例也不行，那都是具体的、存在非常多偶然性的样本。

下面开始分析点球决胜的比赛进程。

第一步（前3轮）：A队先罚，B队后罚，A1B1A2B2A3B3轮流出场，各队3人都罚完之后看各队积分，A队积分为Sa=Xa1+Xa2+Xa3，B队积分为Sb=Xb1+Xb2+Xb3。如果Sa-Sb=3则A队赢（反之同理），仅从数学上讲，这是两队的一次公平比较，而此时出现分差为3的概率微乎其微。如果两队分差未达到3，则点球大战继续，请注意，这里的继续是指A4出场而不是A4和B4先后都出场！【在这里需要特别指出的是，每个球员点球得分的具体概率值不尽相同，但我不会去尝试分析和赋值，因为那会陷入影响因素特别多、建模难度非常大的尴尬局面，也不是本文做宏观分析所必需的。】

第二步（第4轮A4出场）：A4罚点球，得分Xa4，A队通过暂时多一人罚点球将得分更新为Sa=Xa1+Xa2+Xa3+Xa4，如果Sa-Sb=( Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)-(Xb1+Xb2+Xb3)=3，则A队赢；如果Sb-Sa= (Xb1+Xb2+Xb3)-(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)=2，则B队赢。请注意，此时A队在4人罚点球的前提下与B队3人罚点球的结果进行比较，看是否存在Sa-Sb=3，这与第一步中的双方三人罚点球来公平比较是否存在分差为3完全不是一个概念。尽管Sa-Sb=( Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)-(Xb1+Xb2+Xb3)=3的概率依然非常小，但它显然与第一步中( Xa1+Xa2+Xa3)-( Xb1+Xb2+Xb3)=3的概率大了不是一星半点。而Sb-Sa= (Xb1+Xb2+Xb3)-(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)=2的概率低到何种程度不需要我多说吧？也就是说，先罚的A队获得了一次希望虽然很小但收益远远大于风险的机会，是实打实多踢一次点球的不公平竞争优势！
如果A队利用自己的强势资源（相对的点球好手）及时抓住这个微弱的优势机会，通过A4再进一球从而将两队得分差距拉大到3，则A队直接获胜，点球决战终止。
当然，如果此时Sb-Sa= (Xb1+Xb2+Xb3)-(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)=2，也就意味着A队前4人总体罚点球水平不堪入目，一球未中或只进一个，如果A队此时还有点球高手没出场，那就纯粹是自己作死。
【有人会说，你看，这里判断A队提前获胜的条件其实隐含了B队的B4和B5即使都踢进也无济于事的假定，所以B4和B5出场与否不影响B队得分的期望值。我认为这个观点的错误根源在于，点球决胜不是各队前5人全部踢完再来比较，B4（以及B5）还不确定能否出场，你按照他（他们）都必定出场的假定进行概率估计，是前提错了！这是典型的建模错误！各队的得分期望是随点球大战进程逐步累加的，应该基于其实际出场人员来计算，也就是先算必出场的3人的得分期望值，再算第4人的期望值。决策者应该基于不同阶段点球决战的得分期望值进行通盘考虑，而不是稀里糊涂一开始就来一个5人出场的得分期望值。】

第三步（第4轮B4出场）：如果A队尚未通过这次微弱的优势机会将两队的分差拉大到3，则B队获得B4出场的一次同等人数公平竞争机会。B4罚点球后，判断是否存在Sa-Sb=(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)- (Xb1+Xb2+Xb3+Xb4)=2（A队赢）或Sb-Sa= (Xb1+Xb2+Xb3+Xb4)-(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)=2（B队赢）。这又是两队同等人数罚点球的一轮公平竞争。
细心的人会注意到，如果A队犯糊涂，把最稳的点球手放最在后面（如第5），那么A队前4人的点球得分期望值势必相对较低，如果B队把更优秀的点球手都往前放，则B队前期可能积累下更高的积分，从而获得了一次有可能实现Sb-Sa= (Xb1+Xb2+Xb3+Xb4)-(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4)=2的机会，这显然比(Xb1+Xb2+Xb3)-(Xa1+Xa2+Xa3)=2的概率又大了不少（尽管概率依然很低）。

第四步（第5轮A5出场）：如果两队在都有4人出场的条件下还未将分差拉大到2，则点球大战继续，也就是A5出场（而非A5和B5先后都出场）。与第二步中的描述类似，当A5罚点球后，判断是否存在Sa-Sb=(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4+Xa5)-(Xb1+Xb2+Xb3+Xb4)=2（A队赢），或者是否存在Sb-Sa= (Xb1+Xb2+Xb3+Xb4)-(Xa1+Xa2+Xa3+Xa4+Xa5)=1（B队赢）。这又是提供给A队的一次收益远大于风险的优势竞争机会。

第五步（第5轮B5出场）：B队再次获得一次人数上的公平竞争的机会……

如果双方比分咬得紧，则两队依次轮流按顺序出场。先罚球的A队每次出场1人，他们都获得了一次收益远大于风险的优势竞争机会！而后罚球的B队从来没有获得哪怕一次这样的机会！这不公平！有一句俗话，常在河边走，哪有不湿脚？尽管每次A队能够把机会转变成现实的概率都非常小，但在大量的点球大战中，这种微笑概率机会次数的大量堆积必然会导致统计学上的显著差异。

通过上述分析，不难理解，在现行A1B1A2B2A3B3，A4，B4，A5，B5，A6，B6……这种出场顺序的规则下，可以得出以下论断：

（1）先罚球的A队可能会多次拥有多一人踢点球的机会，这种机会转变为现实的概率虽然很小，但其收益远大于风险，这是由规则决定的点球大战中先罚的一方赢多输少的必然性。既然如此，我敢断言，在不久的将来，点球决胜规则很有可能会改变出场顺序，例如按照A1B1B2A2A3B3，B4，A4，A5，B5，B6，A6，……（不知是否还有比这更优的？）我也注意到有人说什么规则没有绝对的公平，还举不同球队状况之类的来说事，这不是明显的胡搅蛮缠吗？制定这种规则肯定不能考虑具体球队的状况啊。

（2）在点球大战中，无论是现行的出场顺序规则，还是上一条我提到的优化顺序规则，从第4轮开始，都存在先出场的一方获得一次人数上的竞争优势机会。不同在于，现行规则是将所有的机会都给了先罚的球队，而优化之后可以让两队交替获得这种机会，显然公平性得到显著提高。

（3）既然从第4轮开始每轮都有一次类似于转瞬即逝的优势机会，那么在点球大战中尽早建立更大的积分优势，可以为后续创造更大的抓住优势机会的概率。举例来说，你在前3轮如果领先2分了，那么第4轮如果你先罚，一旦罚进比赛就结束了，如果前3轮你领先没有达到2分，那么第4轮你的优势机会就被前期的“不足够给力”给浪费掉了。从这个角度来说，在不考虑具体球队状况时，把最稳的点球手排在第5个出场是不明智的选择。拜托不要再举一堆例子说，谁谁谁点球大战就是第5个出场，咱们不是在一个频道上讨论问题。如果一定要再细说，应该是技术过硬的点球手应该优先放在前3个出场，第一个一定要足够靠谱！而心理素质好、技术相对较好的可以接着往后排。如果你的球队有足够多的点球好手，你有很大的把握前3个几乎都必进，那么第4或者第5个排所谓的第一点球手可能也无所谓。但我敢说绝大多数球队都达不到这个条件。

对于以下三类人，我想说的是：
1）以为我是为了黑某人的，请你们早点出门左拐！我承认的确不喜欢某些球员的一些作为，但我绝对不会吃饱了撑着故意大张旗鼓地这么开贴黑某个球员。这里我希望就事论事，你们要讨论就好好讨论，不要在这个帖子下面扯皮拉筋搞得乌烟瘴气！

2）学过概率论的网友们，如果你们确实对这个话题感兴趣，请务必耐心仔细看帖子内容，而不是一开始就喷什么我的概率论知识如何如何，千万不要像我上个主帖里某网友那样丢人。我不能保证我写出来的内容没有漏洞或者错误，但以我二十年来喜欢独立思考和严谨做事的经历来说，上面我基本认真写的东西即使有瑕疵也绝对不会影响大方向。欢迎大家理性讨论。

3）如果你没有学过概率论，也不要紧，我的帖子里面其实并没有用到多少高深莫测的概率论知识，或者说仅仅只使用了概率论中最基本的一个常识。如果你对点球大战输赢这个话题感兴趣，真的不妨耐心看看我上面的文字。虎扑现在越来越沦为撕B的战场，这是论坛运营方的责任，根本上也是我们芸芸众生肤浅浮躁的心态作祟的结果。尽管如此，我还是希望这里偶尔还有那么一个不显眼的角落，能够记录下只言片语的思想交流。