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逻辑主义者弗雷格和罗素都提出过对数的定义。弗雷格把数定义为概念的外延，这是一个类。如果存在一个概念下的对象和另一个概念下的对象的一一对应，就说这两个对象是等数的，这样可以判断两个集合是否相同。一个概念的外延是这个概念适用于其上的所有对象的类，概念F的数被定义为“与概念F等数”这个概念的外延。对任意概念F和G的数，当且仅当F和G是等数的，F的数等于G的数（休谟原理），这里“F的数”是指称一个对象的语法形式。

确立了这个概念后，弗雷格定义了自然数。令概念Z为“不等于自身”，由于每个对象都等于自身，没有对象适合于Z，对于所有的对象a，Za是假的，自然数0被定义为Z的数。令概念T为“等于零”，对于所有的对象b，Tb是真的当且仅当b=0，因此T恰好对一个对象（自然数0）成立，自然数1被定义为T的数。定义自然数2为概念“或等于零或等于1”的数，对其他自然数的定义以此类推。令n为任意自然数，考虑概念Sn为“以n结尾的自然数序列中的成员”，对任意对象a，Sna成立当且仅当a是小于或等于n的自然数；弗雷格证明了概念Sn的数是n的后继，即n＋1，这就确立了无穷多的自然数的存在。

但是弗雷格的基本法则五是有问题的。弗雷格的基本法则五是：对任意概念F和G，F的外延等于G的外延当且仅当对任意对象a，Fa当且仅当Ga。罗素发现弗雷格的基本法则五是不一致的（罗素悖论），令R为恰在下述情况下对x成立的概念：存在概念F，使x是F的外延且Fx为假；令r为R的外延，假设Rr为真，那么存在概念F，使得r是F的外延且Fr为假，由基本法则五就可以得出Rr也为假，因为r也是R的外延；又因为Rr是假的，存在概念F（即R），使得r是F的外延且Fr为假，所以R对r成立，因而Rr为真。因此，罗素提出了类型论，以解决这个问题。

从基本法则五到悖论的推理援引了一个谬误，一个对数学实体的定义是“非直谓的”是指该定义涉及包含这个被定义实体的集合，罗素主张非直谓的定义是不合理的，因为它们是循环的；若要通过一个变元生成一个新的对象，这个新的对象必须不在此变元可取的值的范围内。罗素提出了类型论，将宇宙划分为不同部分：把“个体”定义为不是类的对象，个体属于类型0，而个体组成的类属于类型1，个体类的类属于类型2，依此类推。对任意类C，定义C的数为由所有与C等数的类组成的类，一个自然数就是某个类的数；一个类α的数的后继是包含α以及任何一个不属于α的个体x的类的数。自然数0被定义为由所有无成员的类型1的类组成的类，所以0是一个类型2的类，其下有且仅有一个成员，即类型1的空集；自然数1被定义为由所有有唯一成员的类型1的类组成的类，所以自然数1也是一个类型2的类，并且它有与个体的个数一样多的成员；下面的自然数定义依此类推。可以看出，罗素定义的自然数仍是类。

接下来，罗素定义了整数、有理数和实数，它们不再是类，而是关系。令m为自然数，整数＋m被定义为自然数上（对任意n）n＋m到n的二元关系；自然数是一个类的类（类型2的类），而而整数是一个自然数上的关系。有理数被定义为反映整数之间比率的关系，分数m/n被定义为当xn＝ym时x和y两数之间所具有的关系；有理数和整数与自然数都不同，它是一个整数上的关系。定义一个“切割”（section）为一个非空的有理数的类c并满足：（1）对所有有理数x和y，如果x属于c且y＜x，那么y属于c；（2）存在有理数z，满足对每个有理数x，如果x属于c，那么x＜z；（3）对每个有理数x，如果x属于c，那么存在有理数y属于c且x＜y，也就是说，一个切割是一个联结的、有界的、没有最大元的有理数的类。切割对应于所谓的有理数上的戴德金分割，罗素把实数等同于切割（实数是一个有理数的类）；我们可以定义实数上的序关系以及加法和乘法运算，然后证明实数是一个全序域；特别地，我们可以得到完全性原理，即每个有界实数类都有一个最小上界。罗素定义一个复数为一个实数的有序对。