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• 弗雷格形式化了纯逻辑，提出一种算术到逻辑（集合论）的还原，由此引出了一个更广泛的论题，即全部数学都可还原为逻辑，还拓宽了康德的分析命题概念。弗雷格将集合论纳入逻辑的倾向是数理逻辑学家对康托的直观的数学集合论感兴趣的部分原因。弗雷格对分析命题域的扩张和希尔伯特对隐定义的强调，影响了夸大分析命题对哲学之重要性的趋势。

• 以下是数学哲学中经常讨论的一些彼此部分重叠的基本问题：(1)纯逻辑的性质及其在人类知识中的地位。(2)数学概念的刻画。(3)直观和形式化在数学中的地位。(4)逻辑与数学的关系。(5)数学的本性及其与必然性、分析性、确定性、先天性和自明性等概念的关系。(6)数学在人类知识中的地位。(7)数学的活动和实践。

• 一旦相信逻辑等同于谓词演算，人们就会倾向于认为每种科学理论都可以在谓词演算的框架内表达。我们积极尝试这样来表述科学理论，并借助纯逻辑的概念和结果，假定如此表述的科学理论共享一些特性，如可定义性、居间术语的可消去性、本体论假设。还有一些扩充纯逻辑域的规划，目的是处理因果性、时间、自然语言中的真和意义。

• 数理逻辑最成功之处，也许在于对数学概念的精确刻画。主要的例证是自然数、连续统、集合。纯逻辑的形式化，也可以看作是对逻辑证明或逻辑有效性概念的精确刻画。在一个不同的、可称为元逻辑的层面上，理论充分性的直观概念由完全性和范畴性概念精确化；一致性和模型的直观概念也在数理逻辑中被严格化。而最令人惊讶和有趣的例子，大概是对形式性或机械过程概念的精确定义，它带来了对可判定理论、可计算性和一般不可能性结果的数学处理。

• 数理逻辑对严格证明和启发性过程做了明确区分，前者在数理逻辑中被广泛研究，后者与教学法和关于数学创新的心理学问题紧密相关。一个相关的问题是机械化思维的可能性和局限性。

• 数学是否可还原为逻辑，这个有争议的问题可用一种不同的方式来表述。还原论者同意，亚里士多德的理论未能为数学推理提供一个完整的分析，但还原论者相信，使用一个与三段论理论具有相似特征但扩充了的逻辑理论，这样的分析是可能的。反对者可能会争辩说，数学推理要求本质上不同于三段论的过程。庞加莱就将数学归纳法的每次使用看作一个三段论的无穷序列。这意味着，数学无法还原为纯逻辑。或者如果把集合论包括在逻辑之内，我们就可以把数论也包括进逻辑，从而免于还原。

• 假言还原论或如果-那么还原论认为，数学的任务在于表明，如果存在一个结构，满足如此这般的公理，那么该结构也满足这样那样的其他陈述。虽然公理和定理一般都不是纯逻辑定理，但每个陈述“如果A，那么P”却都是纯逻辑定理，其中p是一个定理，A是推演p所用到的公理的合取。

• 鉴于我们不想讨论关于复杂的直观证明的实际形式化问题，我们可以省掉对不完全或不充分的公理集的探究。给定对定理p的一个证明，我们收集其所使用的所有非逻辑公理。对于一个熟悉的系统S，除了其本身具有的公理，我们还可以把表达S的一致性的命题Con(S)也包括进来，这样就能阻止哥德尔不完全性。

• 我们要求且只要求公理的一致性。但我们须臾不离的公理，比如集合论公理，其一致性并未得到证明。而大多数可能的一致系统明显都是无趣的。

• 假言逻辑主义理论未能触及算术、几何和集合论公理的特殊直观特征，正是这些特征使那些公理在数学中具有如此核心的地位。

• 弗雷格对康德分析命题概念的推广逐渐吸收了全部数学，导向如下一些吸引人的观点：全部数学命题都是分析的（基于所涉及的概念的意义为真），是约定真理（与命题“一码有三尺”属于同类型），是“重言的”（在所有可能世界中为真）。“全部数学命题都是分析的”这种笼统的泛化似乎也不能为理解数学的本质提供多少东西，并且似乎抹去了很多概念上重要区别。

• 使用形式公理系统是数理逻辑的一个常见特征。每一个科学理论都涉及一组概念和一个断言集。当被问及一个概念的意义时，我们经常用其他一些概念来解释或定义它。当被问及何以相信一个断言为真时，我们常常这样来核证自己的信念，即指出它是我们所接受的其他一些断言的后承或可由它们推演出来。

• 初始命题通常被称作公理或公设。当一个理论的概念和命题根据可定义性和可推演性的关系被组织起来，我们就获得了该理论的一个公理系统。

• 人们想要明确地表述假定，严格地证明，清晰地定义概念。人们要求，在数学中，凡能够证明的都应当被证明。人们认识到，证明的作用不仅是确立真理，还在于揭示不同定理之间的相互联系。通常只有在给出严格的证明之后，一个定理的有效性的确切限制才能被确定。

• 在公理系统的演化过程中，出现了关于形式化的一个严格标准，它不基于意义和概念，而基于项和公式的记号特征。该标准是这样的：存在机械的程序来确定，一个给定的记号样式是不是系统中出现的符号，这些符号的一个组合是不是系统的一个有意义的公式，或公理，或证明。

• 只要我们使用基本符号的合适的物理表征，理论上就可以构造一台机器来挑选出系统的全部句子。公理和推理规则也是完全明确的。这些系统的每个证明，完全写出来，是一个有穷多行的序列，其中每一行，要么是一条公理，要么是通过一个明确的推理规则从序列中在先的几行得出。给定任何证明，按照系统对证明的形式要求予以呈现后，我们可以机械地检验其正确性。

• 公理方法有两个不同的发展方向。一方面，我们有诸如算术和欧几里得几何学那样的形式系统，它们每一个都有一个预期模型。如果我们把这些系统设想为二阶理论，后者预设一个预期的、非形式的（整数、点或实数的）集合概念，它们就是范畴性的，但不再是完全形式的。另一方面，我们有抽象的结构，它们的力量源自这样的事实，它们（群、域、拓扑空间等）中的每一个都允许多种多样的实现方式。

• 布尔巴基学派提出用抽象结构来统一数学。他们相信，但数学之内在演化，在今日比以往任何时候都更加有力地重申了数学不同部分间的统一性，并创造了一种比以往任何时候都更为融贯的核心，即结构的层谱体系。

• 人们这样设想结构，它们构成一个从简单到复杂、从一般到特殊的层谱体系。位于中心的是母结构，如群和有序集。它们直接引向有穷群、阿贝尔有穷群、线序集、良序集等。我们还有得自多种母结构的复合结构，它们不是通过简单的并置得到，而是通过一条或多条联结性公理有机地得到。

• 这种一般观点的一些局限性已经被认识到。完全特殊的实数理论对于发展拓扑学和积分等一般理论是不可或缺的。在很多理论（特别是数论）中都有很多孤立的结果，我们今天还不能把它们圆满地归类和关联到已知的结构。而且结构不是一成不变的，我们很有可能会找到新的基本结构、新的公理和它们的新组合。

• 逻辑斯蒂形式主义指出，数学是通过演绎推理（或纯逻辑）的使用而被统一在一起的。与逻辑斯蒂形式主义形成对比的是一种好的形式主义，它强调结构，亦即理论的形式。这种好形式主义强调公理方法的重要或本质的方面，它始于这样的假定，即数学不仅是随机发现的一串三段论，也不仅是由纯技术能力偶然设计出的奇技淫巧的汇集。

• 对此种结构主义的一个常见反驳是，它忽视了数学世界和自然科学世界之间的重要联系。尽管实验实在的某些方面通过某种预适应实现了那些抽象结构，但仍然无法否认，这种结构主义在为纯数学请求一种特别的自主权。

• 根据布尔巴基，“数学结构”在本性上是抽象的。这一通用名称所指称的不同概念的共同特征是，它们可以被应用到其本性尚无规定的元素的集合上。结构主义的核心训条是，数学中的所有特殊性都可以无遗漏地用抽象结构来分析。

• 针对非构造性证明在分析中的盛行，克罗内克在集合论悖论发现很久以前就已经开始强调使用构造性证明方法的可取性。不仅布劳威尔的立场可以看作是在呼吁禁止非构造性证明，甚至希尔伯特的进路也可以看作是在要求用构造性方法来核证非构造性证明。

• 当我们想要形式化并避免诉诸直觉时，形式系统的一致性问题似乎就不可避免。因为如果我们不再要求形式系统的公理是直觉上显然的，我们就不能保证矛盾不会出现。

• 一个形式系统是一致的，如果它的任何定理的否定都不是定理。这等价于说，该系统的某个命题不是定理，因为在一个不一致的系统中，所有命题都是定理。

• 在每个满足特定条件的系统中，都可以找到一个命题p,它可以被理解成是在表达，p本身不是系统的定理。并且可以证明，假定该系统一致，命题p在系统中是不可证的。

• 表达一致性的自然命题是否可证，仍是有待判定的问题。存在一些命题，它们直观上也表达系统的一致性，但却是可证的。

• 表达一致性的自然的命题在系统内是不可证的。哥德尔的这一结果使很多人相信，没有任何重要的一致性证明是可能的，特别地，信息丰富的数论一致性证明没有意义。其推理过程似乎如下：哥德尔定理表明，一致性证明必须用到无法在给定系统中形式化的方法。因此一致性证明比系统中的任何证明都更不初等（更有争议）。因此一致性证明无法改善我们对系统可信度的心理信念状态。因此一致性证明没有意义。

• 王浩倾向于质疑所有这三步推理。没有理由认为，数论现行的形式化必定如此准确地反映证明的可信程度，以至于系统内的每个证明都比系统外的证明更可信。存在一些关于自然数的直观推理模式，它们的显明特征逃脱了我们通常的形式化处理。

• 在理解单个证明和看出无穷多的证明中无一会导向矛盾之间，存在着巨大的差异。在一致性证明中，我们是被要求把握超穷归纳原理的一个单次应用，以便看到一个更困难的结论为真，即数学归纳法原理在其全部应用中都不会导致矛盾。在这个问题上，更有说服力的论证或许只能通过实际地考察一个给定的一致性证明得到。

• 形式系统的目的是表征直观理论，在这个意义上，我们期望系统的定理表征直观上为真的命题。要保证这一点，一致性是必要的但不充分。不一致的系统的定理不能都是真的。但一致的系统的定理也不必都是真的。

• 我们能找到一个演算和一个公式F(a)，使得对任意的数n，F(n)是定理，而“存在数y，并非产F(y)”也是定理（ω-不一致）。我们倾向于认为，如果F(n)对任何儿都为真，那么“∃y¬F(y)”必定为假。

• 维特根斯坦有时将系统中为真等同于系统中可证。如果我们假定一个演算的基本词项的意义完全由证明规则决定，那么这种等同似乎就是不可避免的。如果将真与可证等同，追问一个不可判定语句的真假是无意义的。

• 罗素-策梅洛悖论竟使弗雷格怀疑算术能有一个可靠的基础。实际上，矛盾并不必然要求我们抛弃所有用集合对数所做的定义。受影响的只是一般集合论形式化计划，并且这还是源于弗雷格独有的、把集合当作逻辑的一部分的想法。

• 有一种想法是，把形式系统当作区分可欲论证和不可欲论证的一种工具。形式系统的构建基于这样的指导原则，即每当一个论证被发现有错时，所有同种类的论证都要被排斥。然而给定任意论证，在试图确定其所属的种类时，却不可避免地存在一种任意性。

• 假定我们有一组定理和这些定理的证明可以在其中实现的一个形式系统。假定我们在这个形式系统中发现了一个矛盾。一个被普遍接受的原则是，矛盾蕴涵一切。我们依然可以区分该系统的借助矛盾的证明和不借助矛盾的证明。这个系统的每个命题都有前一种证明，但并不必然有后一种证明。

• 对一致性证明的更为现代的追求，有着不同的动机和比避免矛盾更为重要的目的：寻求对所涉概念和方法的更好的理解。

• 如此假定似乎是合理的，即如果一个理论是一致的，那么它必定有某种解释。逻辑学的基本定理提供了更严格的回答：任何这样的理论，如果是一致的，都有相对简单的正整数论模型，这里“简单”的意思是指只需要算术层谱中较低层次的谓词。

• 我们可能认为，基本的问题是正整数在什么意义上存在。我们关心满足算术公理的结构或关系的存在问题；个别的正整数将在这样的结构中获得派生的存在性。

• 常用集合论系统的定理，其算术翻译在常用算术系统中经常不再是定理。因此算术公理的一致性证明不能解决古典分析或集合论的一致性问题。

• 一致但无标准模型的系统，比如ω-不一致的系统（系统可以证明F对每个单独的自然数成立，但同时又声称“存在一个数不满足F”）的存在，显示出存在与一致之间的某种裂隙。

• 有一种诱人的想法是，借助非构造性的归纳规则（ω规则）和类似的语义概念来刻画算术、古典分析和集合论中的全部真命题，从而突破基础难题。这样不自然的数之类的东西当然就被基本原则排除掉了。但是这就不会剩下什么要解释的了，因为要解释的都被当成理所当然的。

• 王浩曾试图向一群哲学家申辩数理逻辑的价值。后来他开始怀疑起许多他之前热情主张的东西，不仅是因为数理逻辑变成了一门更为技术化的学科，还因为就其对哲学的影响而言，他不再确定那些影响是好的。

• 在讨论基础问题时，人们惯于拿三大思想学派说话：直觉主义、形式主义和逻辑主义。其实三大学派之间的分歧点远不如它们的共同点重要。没有哪个活跃的逻辑学家忠实地代表了三大学派中的任何一个。

• 最基本的划分是客观主义数学和构造性数学之间的划分。前者包括全部数论、古典分析和康托的高阶无穷。后者则有三种不同的解释。第一种只处理自然数，即有穷主义，仅接受可计算的函数和无量词的证明方法。第二种即直觉主义，它承认量词但拒斥排中律。第三种是直谓集合论，它允许量词和一般的排中律，但拒斥非直谓定义，因为后者违反恶性循环原则。

• 我们得到四个畛域：(1)有穷主义（可计算的无量词的方法），(2)直觉主义，(3)直谓集合论，(4)客观主义数学。在王浩看来，这四个畛域的特征和相互关系构成了基础研究的中心问题。

• 在逻辑的本性这个问题上，王浩考虑接受一种介于极端的约定论和绝对的实在论之间的中间立场。一方面，无论是要拒斥还是保留非直谓定义，都可以找到一般性的理由。另一方面，决定这种事情的办法不应是任意选择，而应是深入研究两种立场的相对优点和非直谓定义的本性。王浩认为，更好的理解可以使我们在两种立场间做出自然的而非任意的抉择，或使我们能以某种方式把非直谓定义看成直谓定义的自然极限，从而能够建立从后者到前者的一种连续扩张。

• “超有穷主义”把有穷数分成可操纵的和不可操纵的，主张只有可操纵的数才是直观上显明的。有穷主义和直觉主义只接受潜无穷，直谓主义接受自然数集作为一种实现的东西，但不接受更高的无穷，而客观主义则接受各种实无穷。

• 数理逻辑和数学哲学紧密相关，尽管它们的侧重点不同。数理逻辑构造并研究形式或公理系统，而哲学观点则为技术性研究提供方向，并为已经存在的形式系统提供辩护。

• 一个语言游戏在如下意义上是一个形式系统：尽管人们不枚举要用的语词，却描述了一个良好定义的具体情境，使得在该情境中使用的那些语词和推理，在事实上得到本质的确定。

• 当一个概念的适用范围较宽广时，形式系统比语言游戏更合用。这里涉及单个概念与一个概念家族之间的对比。过度使用形式系统，错在把一个概念家族当成一个单一的概念。无限制地嫌恶形式系统，错在把每个适用范围广的概念都当成一个概念家族。

• 对形式系统的过分强调似乎没有道理。对数学过程这个直观概念的形式化并不是用形式系统实现的。相比于实际地构造形式系统，数学结果和流行的哲学应用与一般性的思考存在的和不存在的形式系统更多地相关。

• 计数所用的最后一个序数给出了这个聚合基数。我们可以可以用相同的符号既表示序数，也表示基数。对于自然数，我们就是这么做的。但当我们遇到无穷大的基数和序数时，这种做法就行不通了。因此如果我们把基数看成是由计数得来，序数的概念似乎就更为基本。

• 多于或等于的概念先于基数和序数的概念。要将不同的石堆按数量多少排序，配对就足够了。但为了得到自然数的表征，我们需要“一”和“加一”的概念。似乎可以合理地说，序数和基数都预设了“一个单位”和“增加一个单位”的概念，但它们谁都不比另一个更基本。

• 任意一个集合，只要它包含1并包含它的每个成员的后继，它就包含所有的自然数。如果把所有这类集合的共有部分分离出来，它便恰好包含我们想要的所有自然数而毫无多余之物，因为否则就会有一个比此共有部分更小的集合，它包含1并包含它的每个成员的后继。这立即会把我们引向如下两个问题：刻画“一个任意的自然数集”这个概念；把算术还原为逻辑。

• 布劳威尔站在直觉主义的立场说：通过抛弃康德的空间先天性并更坚决地坚持时间的先天性而得到复活。根据这种新直觉主义，生命时刻分裂成质上不同的部分，仅在保持分离的条件下由时间重新统一，它在抽象掉情感内容后成为数学思维的基本现象，即对纯粹二一性的直觉。此二一性直觉是基本的数学直觉，它创造的不只有1和2，还包括全部有穷序数，因为二一性二元素中的一个可以被看作一个新的二一性，这个过程可以无限重复。

• 格拉斯曼演算系统的疏忽被戴德金纠正，于是我们有了通常所说的皮亚诺公理：(Pl)1是一个数。(P2)任何数的后继是一个数。(P3)不同的数有不同的后继。(P4)1不是任何数的后继。(P5)对于任意的集合K，如果1属于K并且K的任何成员的后继也属于K，那么所有数都属于K。

• 根据戴德金，人们接着会被迫接受如下这些事实。（1）N是一个集合，其元素被称为数。（2）N的元素具有一种特定的顺序，后者由如下事实决定：对于每个确定的数n，都有一个确定的数φ(n),它是n的后继。映射φ把N映射到自身之中，φ（N）是N的一部分。（3）不同的数有不同的后继，即φ是一一映射。（4）并非每个数都是一个后继，即φ（N）是N的一个真部分。1是唯一不在φ（N）中的数。（5）有人可能认为，这些事实已经足以确定N。但它们也适用于每个这样的集合S,它在N的基础上还包含一个由任意一些元素t构成的集合T，人们总是可以扩充一一映射φ，使得φ（T）=T。

• S的一个满足P1到P4的元素n属于序列N，当且仅当，n属于S的每个具有如下性质的子集K：(i)元素1属于K；(ii)映射的像φ(K)是K的一部分。

• 戴德金只是验证了自然数序列可由他的公理完全决定，然后就得出结论，那些公理对于推演定理也是充分的。因为假如某个定理独立于那些公理，那些公理就有两个可能的解释或模型，根据其中一个解释，该定理是真的，根据另一个解释，该定理是假的。但如果那些公理为理论确定了一个唯一的模型，这种情况就不可能出现。因此关于自然数的所有定理必定都是可推演的。这个论证是可信的，但不完全明晰，其中一个原因是解释的概念还不够明确。

• 戴德金的结论经常被这样表述：那些公理是范畴性的，或者它们没有本质上不同的模型。那些公理实际上有一些不同的模型。但是在同构的技术意义上，它们本质上都是一样的。

• N是一个可能的集合，这在直观上似乎是显然的。但哥德尔的不完全性结果表明，没有一个完全形式化的系统能强迫我们拥有一个足够丰富的集合论域，使得所要的集合N必定在其中。

• 在P5中，我们可能恰巧只表达了某些简单的定义性质，使得如此规定的每个K或者是有穷的或者是余有穷的（除了有穷多个数之外，它包含所有的数）。那么不难找到P1到P5的一个模型，它包含某些“外来入侵者”。T={(2b+1)/2}就是一个例子，这里b是任意整数。

• 已知具有范畴性（在同构意义下只有一个模型）和完全性（系统能够决定所有命题的真假）的系统是准形式化的二阶（允许量词作用于集合或函数和自然数）算术系统，它使用了一个非形式的集合概念，如在P5中出现的，而一阶算术（量词仅作用于自然数）系统是不可完全的。

• 纯逻辑（一阶逻辑）是否真的是我们想要的逻辑的全部？仅以没有相应的完备形式系统为理由，不足以让我们拒绝考虑扩充逻辑。通过增加量词“对不可数多的x”得到的扩充，就有完备的形式系统。

• 形式系统有助于系统地研究存在性定理和可计算函数之间的关系。要说明可计算函数和数学中的存在性定理之间的联系，最好的办法是考虑一个如下形式的存在性断言：“对每个自然数m，存在一个自然数n，m和n有R关系。”

• 依赖于所涉及的那个函数，对于每个m，它产生对应的n。如果R是可计算的或可判定的，它就是可计算的。这个函数的确切性质可通过考察一个给定的、导向那个存在性断言的证明而得到确定。一个存在性陈述的意义依赖于它的证明方法。或者一个存在性陈述的意义取决于它所有可能的证明。

• 由于可计算函数只构成任意函数的一个真子类，在一个可计算函数存在和一个任意函数不存在之间缺少一种对称性。这种不对称性可以用来帮助一个外行人理解布劳威尔对排中律的拒斥。

• 有两类不同的问题与连续统（实数集的基数）相关。第一种类型包括芝诺悖论，在很大程度上包括无穷小量的概念。这些问题更关注作为一个一般概念的无穷，即便我们处理的不是连续统而是有理数，它们也会出现。第二类问题，如点集连续性的定义和不可数集的概念，只关心连续统本身。

• 鲍尔查诺认为，两个无穷集之间存在一一对应，并不意味着可以推断说它们成员数量上是相等的。而康托则将两个集合在成员数量上的相等定义为它们的成员之间存在一一对应，所以集合与其真子集可以拥有相同数量的成员。

• 罗素似乎指出，我们知道有一个前提（整体在成员数量上总是多于其部分）足以引发芝诺悖论，如果我们能拒斥此前提，我们就能摆脱悖论。

• 无穷小的线段、面积或体积的形象，在微分和积分中仍有分中仍有启发价值。而且近年来在数理逻辑中还有一个有趣的发现，与非标准模型有关。根据这个发现，可以给出一个融贯的“非标准分析”系统，在这个系统中，无穷小量可以被无歧义地使用。

• √2属于这样一类数，它们对应着可用尺规作图法从单位元构造出来的线段。这些数实际上是代数数亦即整系数方程的实根的特例。e和π不是任何代数方程的根的证明告诉我们，实数域比代数数域还要宽广。

• 魏尔斯特拉斯、戴德金和康托对的理论基本上归结为这样一种观点：每个有界的有理数集都有最小上界，这应该被当作一条公设或公理。因此每个有界的实数集也有最小上界。一个有理数集，如果小于该集合任何元素的有理数都属于它，我们称之为“穷举的”。实数和有理数的穷举有界集之间存在一一对应。

• 如果我们想确保这些有理数的集合存在，就必须使用这样一个集合理论，在其中那些有理数的集合被假定存在。假定这些集合存在和假定它们对应的实数存在一样是一条假设。因此将它们等同并不能使实数的存在更为确定。

• 戴德金认为，一个切割是这样一个划分，它将全部有理数（或实数）分成两个集合A和B，使得A中的每个元素都小于B中的每个元素。被当作连续性的公理或定义的是这个原则：直线上的每个切割决定一个唯一的点。通过把实数与直线上的点相联系，实数上的每个切割决定一个实数。如果剔除切割中的所有无理数，我们就能得到所有有理数切割，每个这样的切割也决定一个唯一的实数（有理数在实数中是稠密的）。形式化中从有理数上的切割开始，其优点是我们可以从有理数及其集合构造实数。

• 实数构成一个连续有序域。由于有序域的公理不成问题，我们只考虑连续性公理，它基本上就是切割原则，但也可以用上界语言来方便地陈述。每个（上方）有界的实数集K（F的一个子集），都有一个最小上界。

• 这是一个二阶系统，因为上述公理不仅谈及实数，还谈及实数的任意集合K。这一特征使该公理系统足够强，以至于是范畴性的。如果我们改用一阶系统，那么所得的初等理论是完全的和可判定的（一个理论T称为可判定的，如果存在一个算法（图灵机），对任意语句φ，能在有限步内判定T⊢φ或T⊢¬φ），但不再是范畴性的。

• 康托的对角线论证证明了，给定实数的任意枚举，我们总能找到一个实数，它在该枚举中不出现。这个证明的更广泛的含义是，没有完全显式的刻画能穷尽所有实数。没有形式系统能包含所有实数。

• 如果我们想从对角线论证中提取更多信息，从而得到一个单一的定理，我们必须使用一个间接的论证和一些非直谓的定义。假设有一个对全体实数的枚举，那么我们可以利用这个总体定义一个实数，它不可能出现在该枚举中。在此论证中，因为我们假定所有实数都在该序列中，我们必须使用一个非直谓的定义来得到一个不在该序列中的实数。对这个实数的定义是非直谓的（包含对其所定义对象从属的一个总体的指称），因为在定义它时我们指称了所有实数，它本身也是其中之一。

• 引入一种新的变元，其取值范围为所有有穷阶的集合和实数。由于每个一般实数集必定具有某个有穷的阶n，其最小上界的阶为n+1，它也是有穷的，因此该最小上界是一个落在一般实数变元取值范围之内的实数。这样我们就可以在不使用非直谓定义的前提下，陈述并证明这个一般定理：每个有界实数集都有一个最小上界。

• 当我们已经定义了一个集合论域，用非直谓定义引入一个新集合，会扰乱原初论域的大小和秩序，而直谓定义则不然。

• 一个自然数集可以包含或不包含1，包含或不包含2，等等，因此必定有2^ℵ0个可能的自然数集，其中包括所有在任意形式集合论中可定义的自然数集。这为连续统提供了一种不可达的模型，但它没有说明该如何显式地规定实数或自然数集。

• 每个直观证明都对应一类证明，或者一类部分解释，我们可以根据直观定理在其中可以被自然地表征的系统的类，来对直观定理进行分类。这一进路可以避免关于哪种观点为是的争论。它还能更充分地揭示普通非形式数学证明的直观内容。

• 数理逻辑中用一般递归（涵盖所有可计算函数的最广泛的递归定义方式）或图灵可计算性（丘奇-图灵论题说明图灵可计算性等价于一般递归函数）对机械程序的定义十分重要。

• 凭借可计算性的概念，人们第一次成功地给出了一个有趣的认识论概念的绝对定义，即不依赖于所选的形式系统（由一组符号、规则和公理严格定义的逻辑框架）的定义。

• 在每个适当丰富的形式系统中，都存在一些句子，它们和它们的否定都不可证。这个结果澄清了（绝对）可证性的概念，至少在如下意义上：任何给定的形式系统中的可证性都无法完全抓住可证性的直观概念。

• 在通常被指为递归性或图灵可计算性的明晰概念的定义中，人们使用了如下条件：“对每个自然数m，存在一个自然数n，使得某个确定的关系R在m和n之间成立。”这里只要求该条件为真，用来求解与给定之数m相对应的数n的方法是悬而未决的。

• 哥德尔指出，机械程序的精确概念是由产生部分而非一般递归函数的图灵机清晰地展示出来的。我们的直观概念并不要求机械程序总是会终止或成功。一个有时不成功的程序，如果是被明晰地定义的，仍然是一个程序，即一种完全确定的行进方式。用“可由图灵机执行”这个明晰的概念对机械概念的定义，既是正确的，也是唯一的。与“恒有终止的机械程序”这个更复杂的概念不同，现在看得很清楚的、不加限制的机械程序概念，对直觉主义者和古典主义者有着相同的意义。

• 形式系统只不过是产生定理的机械程序。一个形式系统不过是一个多值图灵机，它允许在特定的步骤进行预定范围内的选择。操纵图灵机的人可以根据自己的选择在某些步骤设置控制杆。这正是人们在一个形式系统中证明定理时所做的。

• 在感官知觉和对概念的感知之间，相似性多于差异性。对不同但逻辑上等价的概念的感知，可类比于从不同的角度感知感官对象。如果一开始就没有明晰的东西，那么就很难理解，何以在许多情况下一个模糊的概念能唯一地决定一个明晰的概念，而不容许最微小的选择自由。

• 有些情况下，我们把两个或更多个精确概念杂糅在一个直观概念中，并因此得出了似乎矛盾的结果。当我们认识到，我们的直观概念中杂糅了两个不同的明晰概念，悖论就消失了。

• 当我们使用关于点的集合论概念，并试图将长度赋予线上的任意点集，我们就与直观概念失去了联系。这也解决了这样一个悖论：从集合论的角度讲，人们可以把一个球体分解成有穷多个部分，并把它们重新组装成一个较小的球体。

• 虽然对机械程序的最令人信服的定义是通过图灵的抽象机器的概念得到的，与之等价的递归函数概念却是在历史上出现得最早的，它差不多可以说是将加法和乘法的简单递归定义推广到极点的产物。

• 不是所有可计算函数都是原始递归的（可通过复合f(0,x,…,y)=g(x,…,y), f(n+1,x,…,y)= h(n,x,…，y,f(n,x,…,y))模式定义的函数，其中g和f是给定的），而且任何比较简单的类很可能都是不充分的，因为有可能借助对角化找到一个新的可计算函数。

• 假设φ指称一个未知函数，ψ1，…，ψk是已知函数，并且假设诸ψ和φ以最一般的方式相互代入后所得的一些表达式的对可以构成等式，那么如果所得的函数等式组对φ有唯一的解，φ就是一个递归函数。这里是在直觉主义的意义上说存在φ的一个解。如果是在经典意义上理解它，那么该定义决定了一个比一般递归函数更广泛的类。

• 导出等式是通过用数字代换函数表达式的变元和函数值得到的，一组等式定义一个一般递归函数，当且仅当对于每组固定的主目值m1,…,mn，存在唯一的数字k，使得以啊φ(m1,…,mn) =k是一个导出等式（从已知条件、定理或方程出发，通过逻辑推理或数学运算得到的等式）。这一要求等价于这个条件：可以如此安排φ的所有可能的参数组(m1,…,mn)，使得对于任意给定的主目组(m1,…,mn)，通过给定的等式对φ的值的计算只需要关于(m1,…,mn)之前的主目组所对应的φ的值的知识，并且无论以何种方式来做这件事，所得到的φ的值是不变的。

• 从经典的观点看，图灵可计算性为机械过程提供了一个准确的分析。但从构造性的观点看，这个概念并不是完全确定的，作为显明构造性方法是什么的一种方式，它是循环的，因为该定义同样涉及一个需用一个函数来解释的存在量词。

（3）图灵机

• 图灵机的定义如下。每台图灵机可以处于一个固定、有穷的状态表中的任何一个状态。它配有一张双向（潜在地）无穷的长纸带。纸带划分为一个个方格，每个方格可记写一个符号，不失一般性，可以规定方格只有空白和有标记（一次性固定下来）两种内容样态。纸带会在图灵机前经过，每个时刻，图灵机只能扫描一个方格，并处于一个给定的状态。每个时刻图灵机所扫描方格的内容（空白或有标记）和机器所处的状态，决定了该图灵机的当前配置。当前配置则决定机器要做出（或执行）什么动作（或原子行为）：改变被扫描方格的内容，或变换被扫描方格为其左侧或右侧的相邻方格（通过移动纸带或机器实现），或转变机器的当前状态为另一状态，或停机。机器从任意初始的状态和被扫描的方格开始；初始的纸带（输入）可以包含任意有标记方格和空白方格的组合，尽管通常我们假定初始纸带只包含有穷多的有标记方格。一旦启动，机器应根据其在每个阶段的当前配置进行动作。如果它一直没有机会做出“停机”的动作，它就得一直运行下去。如果机器停机了，那时纸带的内容一般称为输出。

• 一个算法就是一个有穷的规则集，它精确地告诉我们，对于给定的一类问题，这一刻到下一刻该做什么。给定一个用来求解K类问题的算法和属于K的一个问题，任何人都能够求解这个问题，只要他能执行该算法所要求的操作，准确地遵守那些给定的规则。

• 在执行一个算法时，人类计算者使用一些数据，包括该算法的指令，这些数据部分地储存在他的记忆中，但更多地是写在纸上或印在参考图表上。有（a）某种存储装置来储存初始数据和居间结果。他还要执行（b）某些基本运算。他（c）通过查阅指令来决定下一步做什么，从而控制步骤序列。

• 在这三个要素中，（b）是最易于机械化的。台式计算器的引入已经将这方面工作的很大一部分交给了机器。自动（排序）计算机所做的是，增加（1）一个存储单元以存储信息，以及（3）一个控制单元以根据作为算法之实现的一个程序来执行指令。台式计算器被（2）一个运算单元取代，它与（1）和（3）集成在一起。起初程序是由外部通过插接板提供的，因此无法指示机器对程序进行修改以增加灵活性。但很快机器就开始拥有“存储式程序”，使得程序成为初始数据的一部分，并且可以巧妙地编写一个程序来指示机器自动完成多个程序的工作。

• 如果我们考虑一个人在一张纸（假设它被划分成一些方格）上做计算，该过程涉及如下几件事：（1）一种存储媒介，即那张纸；（2）一种语言，它具有表示数字和方向的符号，假定它们被写在了那张纸上；（3）被察看区域，即每个时刻被观察的一些方格；（4）“心灵状态”，即那名计算者在每个阶段都记录计算到达的阶段，并决定下一步做什么；（5）进行下一步计算的行为，它可能涉及（a）通过写下或擦除一些符号而进行的符号上的改变，（b）被察看区域的改变，（c）“心灵状态”的改变。

• 要使得该过程是机械的，即能被一台机器执行，或以机械的（非创造性的）方式被一个人执行，其原因可以概括为如下两个原则：A确定性原则；B有穷性原则。

• 根据确定性原则，在决定下一步做什么时，唯一相关的信息是当前在被察看区域观察到的符号和当前的“心灵状态”。我们可以把当前“心灵状态”设想为一种严格的、有条件的态度，即准备好做出某些特定的行为，这些行为完全取决于当前在纸上所观察到的符号。

• 根据有穷性原则，心灵在每个时刻只能储存和感知有穷多不同的项，这些项的数量有固定的有穷上界。每个时刻可感知项数的上界非常小，而可存储项数的上界则十分大，但相信存在这种上界仍然是合理的。由这一原则立即可得，计算者在每个时刻只能察看有穷多的方格。需要考虑的心灵状态的数量也是有穷的。可打印符号的数目也是有穷的。

• 计算在每一步所执行的操作涉及三类变化：心灵状态，写在计算表上的符号，以及观察区域。我们暂时假定，每次操作只进行这三种改变中的一种。

• 我们可以绘制在一个给定的算法下的计算的一个机械模型。每个心灵状态对应着机器的一种“配置”或状态。机器在每个时刻扫描B个方格。在每次操作中，机器可以改变其配置，或在另一个方格里改变符号，或改变所扫描区域到L个方格以内的另一个区域。把B和L限制为1并让机器在一条线状纸带上工作，无损于一般性。因此仅有的可变要素是可用符号数（字母表的大小）和状态数。我们可以通过扩充字母表来减少状态数，通过增加状态数来缩小字母表。

• 自然数上的一个函数φ是图灵可计算的，当且仅当它可由一台图灵机计算。而函数φ可由一台图灵机计算，当且仅当从任何给定的主目值(m1,…,mn)在初始纸带上的表征出发，这台机器最终会停止运行并输出对数字k的表征，其中k是φ(m1,…,mn)的值。

• 在此定义中，有两个存在性断言：存在一台图灵机（或一组等式）；对于每组给定的主目值，存在纸带的一个最终状态（或一个导出等式），它表征一个数字（输出）。简便起见，我们可以只考虑这两个概念中的一个。

• 我们考虑给定等式E，对于任何主目值(m1,…,mn),存在E的一个（唯一的）导出等式，它形如φ(m1,…,mn)=k。写成算术形式，我们可以将该条件简要概括为∀m∃n(gE(m,n)=0),其中n是从E到一个主目值为m且具有所要求的形式的等式的最短推导（的哥德尔数），gE是一个合适的原始递归函数。

• ∀m∃n(gE(m,n)=0)是真的，当且仅当对每个数字m，存在一个数字m使得融gE(m,n)=0是可验证的（仅用数值计算即可证明）。但如果我们接受一种构造主义的立场，如果一般递归性被视为对构造性的分析，我们就陷入一种循环，因为该条件的意义要求存在一个构造性的函数f使得对所有的m都有gE(m,f(m))=0。

• 丘奇论题的官方表述提议将一般递归函数等同于能行可计算函数（存在明确的、机械的步骤（算法）能在有限步内计算出函数值的函数）。

• 我们面临着两个彼此不相排斥的选项：（a）忽视能行程序（或能行可计算函数）和机械程序（或算法）之间的表面的语义差别；（b）主张丘奇所关心的是分析一个与机械程序概念根本有别的直观概念。

• 并非所有一般递归定义的存在性条件∀x∃y(gE(x,y)=0)都可以在一个单一的形式系统中得到证明。在任意给定的形式系统中可证明为一般递归的函数可以以一种一般递归的方式被枚举，然后应用对角线论证就可以得到一个新的一般递归函数。对于每个形式系统S，算术命题Con(S)等价于某个一般递归函数的存在条件。根据哥德尔定理，该存在条件在S中是不可证的。

• 我们可以重新安排自然数的顺序，并考虑那些遵循向较小的（在新的顺序中）参数值还原这一原则的定义。我们现在可以得到自然数的、序型不同的（对应于康托第二数类中的不同序数）良序，以及对应相同序数但又十分不同的良序。对于每个良序<，我们都可以引入序数递归的模式足限制条件f(m,n)=g(m,f(h(m),n),n)，这里g和h是给定的函数，且h(m)

• 通过对良序进行分类，我们或许能得到全体一般递归函数的一个有序结构。如果<是一般递归的，则如此定义的所有函数也都是一般递归的。如果我们从一个给定的序数出发，向着越来越小的序数前进，我们必定会在有穷步内停止。任何一般递归函数都可以这样来定义，即使我们将<是一般递归的，则如此定义的所有函数也都是一般递归的。如果我们从一个给定的序数出发，向着越来越小的序数前进，我们必定会在有穷步内停止。任何一般递归函数都可以这样来定义，即使我们将<限制为原始递归的或具有序型ω。现在的问题是，如何按适当的标准对良序进行分类。

• 从数学上讲，将机械程序等同于图灵可计算性或一般递归性的经典论题是卓有成效的，因为它使一系列不同的机械不可解性结果得以可能。但是在带来重要的数学结果这方面，为能行程序寻找一种有序结构的努力，其回报远没有这么丰厚。

• 罗素的《数学的原则》对纯数学作了一个大胆的定义，将其定义为所有形式为“p蕴涵g”的命题的类，其中p和q是包含一个或多个变元的命题，二者所含变元一致，且p和q都不包含逻辑常项以外的常项。后来这个定义被修订为也包括蕴涵之外的其他真值函项。

• 《原则》的基本论点是，数学和逻辑是同一的，即数学可还原为逻辑。

• 《原则》的另一个全局性问题是关于类的实在论和构造主义的问题。在《原则》中，实在论的立场十分明显。这与罗素后来对逻辑构造的强调截然不同。

• 形式蕴涵和命题函项似乎是相关的。在分析它们时，罗素碰到了新的不可定义概念，如每个项和变元，它们又导向指称、任意的项，以及由命题函项所定义的命题的类。在论指称的一章，我们还遇到了所有的、每个、任意的、一个、一些、这个。

• 在讨论类和悖论时，罗素首先证明了，对于所有的R，不可能有这样的a，它使得对所有的w，wRa≡wRw。我们得放弃x∈x^φx≡φx这条公理，或者放弃每个类都可充作一个项这个原则。

• 罗素提出要区分作为多的类和作为一的类。一个类作为一是一个与这个类的项同类型的对象。对于任何命题函项φx，用这个类的项替换x是有意义的，用这个类本身替换x也是有意义的。一个类作为多也可以是一个逻辑主词，但却只能出现在与这个类的项为主词的命题在类型上不同的命题中。

• 罗素认为，形式真理的正确陈述需要任意的项或者每个项的概念，但不需要所有的项这个集体概念。

• 只有当一个作为多的类不是太大时，它才同时是一个作为一的类。a∈x^φx有时是没有意义的，虽然在a∈x^φx有意义时，a∈x^φx≡φx总是真的。

• 罗素的简单类型论的两个基本假设被明确地陈述如下：T1除了真域,每个命题函项φx还有一个意义域，无论是真是假，φx要成为一个命题，x首先必须位于该域内。T2意义域构成类型，即如果x属于φx的意义域，那么就存在一类对象，亦即x的类型，所有这些对象必须也都属于φx的意义域，无论φ如何变化。

• 所有命题的类型会产生矛盾，这可以通过考虑所有的命题类和所有命题的类k看出来：对于每个命题类m，有一个命题pm（“m中的每个命题都为真”）不属于m。因此pk属于且不属于k。

• 一个性质φ不能定义一个类，如果存在一个函数f对任意的类u都有：如果(x)(x∈u⊇φx)，则f(u)存在，且φ(f(u)),且f(u)不是u的成员。如果φ定义了w，我们就会得到φ(f(w))和¬φ(f(w))。如果取φ为“是一个序数”，f(u)为“u的序数”，我们就会得到布拉里-福蒂悖论。如果取φ为“是一个基数”，f(u)为“u中最大的基数的幂集的基数”，我们就会得到康托悖论。如果取φ为“不属于自己”，f(u)为u本身，我们就会得到罗素悖论。

• 关于悖论，罗素指出，有些命题函项（通则、属性）并不决定任何类，问题是要给出一些准则，将这些并非谓述性（不做出真值判断）的通则与其他通则区分开。他讨论了三种可选方案：(A)Z形理论；(B)大小限制理论；(C)无类理论。

• 在Z形理论中，比较简单的命题函项总能决定类，只有当它们是复杂晦涩的时候，它们才不能决定类。一个谓述性（可以被判断真假）命题函项的否定总是谓述性的。

• 在大小限制理论中，没有集合可以有补集。如果可以证明φ是一个非谓述的属性，那么很可能我们就可以实际地构造一个序列，它在序关系上类似于全体序数的序列，并完全由具有属性φ的项构成。因此如果满足φ的项可以被排列成这样一个序列，其序关系与序数序列的一个片段相似，那么假定φ是一个谓述的属性不会产生任何矛盾。

• 关于无类理论，罗素暗示将类当作“不完全符号”，把一个类u与一个开语句Fx相关联，从而使“u只有一个成员”变成了(∃b)(x)(x=b≡Fx)。

• 理查德通过考虑所有可用有穷多语词定义的十进制小数的集合，开启了关于语义悖论的研究。理查德解决这个悖论的想法是，不应把可用有穷多语词定义的小数的集合理解为包含任何只能通过指称该集合本身才可定义的小数。

• 庞加莱提议将并非谓述性的通则等同于包含理查德悖论所展示的那种恶性循环的通则。这已经成为一个公认的概念，用术语“非直谓定义”（定义依赖于包含自身的整体）表示。庞加莱的异议主要是针对较高的无穷，他无意让诸如数学归纳法之类的基本原理接受直谓性（一个对象的定义仅依赖于先前已定义的对象，而不涉及包含自身的总体）检验。

• 类型层级的底部是个体对象和一些可应用于个体对象的谓词。我们得到一类原子命题，从它们出发，借助真值函项联结词，我们得到其他命题。存在一些在个体域上取值的变元x等。对这些变元进行量化，我们得到一阶命题函项。引入变元φ1等，它们在这些命题函项上取值，而这里的命题函项可理解为一个开语句（包含自由变量的命题表达式，其真值取决于变量的赋值）Px，或抽象表达式（从具体实例中提取出的高阶概念，通常涉及属性、关系或函数的抽象）P^x，或后者所指称的属性。

• 使用这些变元，我们从…Px…可得到如下一些结果：(φ1)…φ1x…，(x)…φ1x…，(x)…φ1x…，(x)…^φ1x…。它们的阶都是（第三个除外）2。一个命题函项的阶是大于该函项中出现的所有约束变元（包括量化变元和上方带^的变元）的阶的最小的整数。因此一个开语句Fφ的阶由它里面出现的约束变元的阶决定，一个抽象式F^φ（表达式）及其所命名的属性的阶由开语句Fφ的阶和作为抽象化变元的φ的阶决定。一个变元（表达式）的阶则继而由作为该变元的值的那些属性的唯一的阶决定。

• 一个属性的阶必须高于具有该属性的事物的阶。一属性的阶若比具有该属性的事物（用命题函项术语说，即它们的主目）的阶恰高一阶，罗素称之为直谓的。

• 可归约性公理（对于任意高阶命题函项，存在一个等价的一阶命题函项）断言，对于每个开语句Fφ，我们有：(∃φn+1)(φn)(φn+1φn≡Fφn)。即使我们为了表达具有某给定的阶和级的对象的属性而让语言包含了无穷多种变元，借助这条公理，它们也可以由罗素所使用的更小的类中的变元来取代（使得非直谓定义的其本质可归约为直谓定义）。

• 一旦实现这一点，罗素的理论与简单类型论的现代版之间的区别，本质上就变成了属性与满足外延公理的类之间的区别。每个变元或抽象式都具有某个类型i(i=0,1,…)。

• 一个函项φ出现于其中的命题的真值可能依赖于那个特殊的函项φ，也可能只依赖于φ的外延。在前一种情况中，我们称所涉的命题是φ的一个内涵函项；在后一种情况中，称之为φ的一个外延函项。数学所特别关注的函项之函项，全都是外延性的。如果一个函项φ!z是外延性的，则可以视其为一个关于φ!z所决定的那个类的函项，因为只要那个类不变，该函项的真值就保持不变。

• 通过希尔伯特和阿克曼，某种像系统PM加上外延公理——直接应用于命题函项变元——的东西被保存下来，文献中称之为高阶谓词或函项演算。

• T3恶性循环原则（凡是涉及一个集合整体的对象，都不能是该集合自身的成员）和T1、T2一起基本决定了某种形式的分枝类型论。

• 从这些原则我们可以推得：T3a没有类与其成员可以具有相同的类型。由Tl、T2、T3a，我们得到简单类型论。

• 从T3到T3a的推导如下：给定一个函项φ^x，它的值都是形为φx的命题。因此不存在形为φx的命题，其中的x有涉及φ^x的值。否则在函项确定以前，它的值将不都是确定的，然而除非其值先已确定，函项不会是确定的。φ(φ^x)是无意义的。

• 抛弃可归约性公理至少有四种后果。同一性的定义不再可行。不过这可由外延原则（两个集合或谓词是否相同，取决于它们的成员或外延是否相同，而非它们的定义方式或内涵）(x)(φx≡ψx)⊇(F(φ)≡F(ψ))替代。有关高等无穷的概念和结果，如康托定理，不再能得到。古典分析，如最小上界定理，也丢失了。数学归纳法也存在困难。

• 没有可归约性公理，不仅存在不同类型的整数，在每个高于1的类型内，还存在分属无穷多不同阶的整数，因为整数属于每个（固定阶的）归纳类（包含0并在后继运算下封闭的类）。

• 维特根斯坦在《逻辑哲学论》中提出，存在简单对象和原子事实。原子命题，如果为真，描绘原子事实（“意义的图像理论”）。量词被归约为合取和析取。每个简单对象有一个唯一的名字，因此在最终的分析中，等词是不必要的，尽管维特根斯坦不否认，它对数学是有用的，甚至实际上是根本的，在数学中，我们主要的兴趣就在于确定两个不同的摹状词是否有相同的指称。

• 外延原则（5.54）被应用到所有复合命题上：“在命题的一般形式中，命题只作为真值运算的基础出现在其他命题中。”从这些一般断言出发，我们得到命题的一般形式，它通过重复地应用一个推广的竖杠函数到全体原子命题的类上，产生所有命题。

• 整个理论忽视了有穷域和无穷域之间的区别，因此对数学基础而言是无关紧要的。数被明智地按不同思路做了处理：“数是一种运算的幂”（6.021）。

• 最基本的原则或许是原子性原则，它肯定了终极分析的可能性。关于简单对象，维特根斯坦认为，它们更像是物质对象，而非罗素和逻辑实证主义者所提倡的感觉材料。对于这种“逻辑原子主义”立场的提出，摹状词（通过描述性语言指称某个特定对象的短语）理论（限定摹状词不是真正的指称表达式，而是需要被逻辑分析的复杂结构）似乎是一个重要影响因素，根据后者，无指称的词项可以被消去。

• 意义必须通过指称来表达，并且指称对象必须是物质对象。或许可以不是物质对象，但无论如何须是简单对象。逻辑必须在所有可能世界中为真。

• 除非在某个地方命题直接触及实在，否则不可能有解释任何命题之真假的基础。我们也许不知道原子命题是什么，但必定存在这种命题。

• 大概是受布劳威尔的影响，维特根斯坦开始认识到《逻辑哲学论》中的两个基本错误。第一个错误是关于原子命题。“他和罗素都认为非原子命题可以被‘分析’为原子命题，但我们却不知道这样的分析是什么样的。他现在的观点是，谈论‘最终的分析’是无意义的。”他愿意在任何语境中将未分析的（而不是不可分析的）命题当作原子的。

• 第二个重要错误是他将一般命题分析为合取式。“他先前被(x)Fx几可由Fa∧Fb∧Fc∧…替代的事实误导了，没有认识到后一表达式并非总是一个逻辑积（通过合取运算组合多个命题或变量后得到的结果），只有当那些点是他所谓的‘偷懒的点’时，它才是一个逻辑积。”

• 拉姆齐重新解释了简单类型论。他列出了《原理》中的三个基本错误。首先，这个理论等于说，每个类都有一个可用来定义它的属性。它对类下了一个只适用于可定义类的定义，这使得所有关于某些或全体类的数学命题都被曲解了。在每个形式语言中都有不可定义的类。拉姆齐似乎暗示，绝对不可定义的类也是可能的。即使事实上所有类都可定义，我们也无法在逻辑中将类等同于可定义类而不破坏逻辑的先验性和必然性，后二者是逻辑的本质。其次，《原理》未能区分语义悖论和数学悖论。第三，对等同的处理是一种曲解，因为它没有界定等同符号被实际使用的意义。

• 拉姆齐的观点是实在论的，一视同仁地对待有穷集和无穷集。在他看来，所有数学真理都是（真值函项的）重言式（对于它的任一解释下其真值都为真的公式），虽然有时是关于无穷多命题的。

• 个体的直谓函项是这样的真值函项，其主目（无论有穷多还是无穷多）或者是个体的原子函项或者是原子命题。接受主目数量可以无穷多，意味着我们不把函项的范围限制在那些能够以某种方式构造的函项上，而是通过描述其意义来确定它们。

• 按照拉姆齐的观点，可归约性公理变得不再必要，取而代之的是概括公理（对于任何给定的性质，可以构造一个包含所有满足该性质的元素的集合），后者在形式上与前者十分相似，但在关于类或无穷真值函项的实在论立场下，它是真的。依照《原理》的解释，可归约性公理既不是矛盾式（它可能为真），也不是重言式（它可能为假）。

• 选择公理（对于任何一族非空集合，存在一个选择函数可以从每个集合中选出一个元素）在两种解释下的表现也类似。它在实在论解释下是一个重言式，这得自如下事实：所有的限定都能确定一个（属于某给定类型的）类，因为我们在每个类型中都设想所有可能的对象类。

• 仍然比较麻烦的是无穷公理（存在一个集合，包含空集，并且如果某个元素属于该集合，则其后继元素也属于该集合），因为它专注于“个体”，并且拒绝赋予数或递归构造一个独立的地位。

• 拉姆齐的评论在数学上的意义不大，因为他没有告诉我们如何用有穷方法证明概括公理是一致的（当存在无穷多属于某给定类型的对象时），也没有告诉我们如何解决选择公理相对于（非无限复杂的）证明的独立性问题。

• 至于公理在构造性理论中的情况，我们实际可以观察到可归约性公理为假（因为存在高阶的类不与低阶的类等外延），选择公理为真（因为论域是可数的，相应的直观模型通过阶数足够高的类保证了选择的可能性）。

• 《原则》第二版的导言可以看作是罗素的逻辑哲学观点的一个总结。其中心主题是逻辑真和逻辑常项，而主要的结论是，他尚未找到一个对逻辑的适当定义。

• 罗素认为,逻辑命题必须具有完全的普遍性，并基于其形式为真。在逻辑命题的语言或符号表达式中，除逻辑常项之外，没有任何常项出现。不管S、P和M取什么可能的值，如果所有的M都是P,并且S是一个M，那么S是P。对罗素来说，这表征了一个逻辑命题。

• 根据罗素的说法，在尽最大努力缩减逻辑演算中的未定义项之后，我们会发现还剩下两项是不可或缺的：其一是不相容性；其二是命题函项的所有值都为真这个概念。这两项是不相容析取和全称概括。类成员关系没有被包括在内，它可能被合理地认为不属于逻辑的范畴。

• 罗素很可能认为，谓述关系不必被看作额外的初始项，但它发挥了类成员关系的作用。这样一种观点具有误导性，因为我们确实需要关于谓述的特殊公理，而不相容析取和全称概括就其本质而言并未对它们做出要求。

• 《逻辑哲学论》中提到，在适当的记法（一种理想语言）下，逻辑常项就像标点符号或括号一样（4.441，5.4，5.4611，5.474）。因此没有任何成分（对象或对象的复合）与它们对应；不存在“逻辑对象”。这个提法有助于逻辑常项的选取，但前提是存在记法适当与否的独立标准。

• 不包含非逻辑常项这一点虽然是逻辑命题的必要条件，但不构成逻辑命题的充分条件。如果我们不要求逻辑真理具有任何另外的属性，我们就会被迫接受蒯因曾表达过的一种观点，即任何陈述只要例示了一个有效的陈述形式，并且不包含非逻辑常项，就逻辑地为真。这样我们将不得不接受这样一些陈述为逻辑真理，它们之为真，依赖于相关论域的大小。

• 在《原理》中，恶性循环原则的表述基本如下：“（la）恶性循环原则。没有总体能够包含只有借助该总体才能定义的成员；只有用一个集合的全体才能定义的东西，必不是该集合的成员。”这一表述是高度歧义的。其中一些歧义可通过检查罗素的正面学说来消解，另外一些则需要不同程度的进一步的分析。

• 罗素的分枝类型论以多种方式预设了有穷性的概念。（i）在该理论的语法描述中，我们需要谈论所有的有穷阶n，在每个阶之内，我们需要设想可通过真值函项和量化得到的所有有穷组合。（ii）后继函数的定义预设了任意有穷数量的重复应用。（iii）即使是用物理世界解释的无穷公理，也必须预设有穷性的概念是有意义的。

• 关于递归定义的可接受性，恶性循环原则未做明确陈述。一方面，我们可以辩解，既然我们无论如何都理解有穷性和递归定义，它们就是可接受的且不违反恶性循环原则。另一方面，人们可能指出，x∈B的一个显定义将形如(A)((**∈A∧(z)(z∈A⊇z**∈A))⊇x∈A)，它显然是非直谓的。

• 如果我们抛开关于混合类型的禁令（它与恶性循环原则无关），罗素似乎愿意接受一种有穷类理论。核心的问题在于以直谓的方式达到取值范围为（全体）有穷类或自然数的变元。我们有理由认为所有这些有穷类的集合C不是一个非法的总体吗？

• 原则（la）似乎不能为这个问题提供一个明确的答案。我们不禁要问，是否有任何方法可以在不违背恶性循环原则的情况下引入一个无穷总体。

• 无论解决办法是什么，我们当然希望使用一个无穷总体作为进一步构造的基础。像C这样的一个总体当然是可接受的，即使它应该被视为违背了（la）,因为我们确实理解有穷性的概念。鉴于我们可以通过这个概念达到总体C和数集N，我们不必选择恰巧违背（la）的特殊方式引入这些总体。我们得到的结论是，C和N是合法总体，在它们的基础上，我们可以设计进一步的直谓定义。

• 我们这里考虑的定义概念比界定的一般范畴要窄，后者对于我们想保留的构造性特征没有倾向。一方面，数集的非直谓定义并不是定义，而是相对于一个预想的实在主义模型的界定。另一方面，这些表达是对对象的非直谓界定，而那些对象则预先以直谓的方式被定义好了。

• 我们要求直谓定义构成一种良序，使得每个类由这样一个成员条件定义，该条件中所有变元的值都只能是由那个良序中更早出现的定义引入的东西。这样在后的定义不会干扰在先的定义。

• 给定一类序数和一个初始理论（比如有穷类或自然数的理论），存在借助超穷归纳构建直谓集合论的标准程序：在后继序数处有直接的直谓扩张，在极限序数处则取并。

• 一个直谓系统，既然不包含可取任意序数集为值的变元，如何能真实地表达“是一个良序”这个性质？在很多情况下，不受限制的良序定理在经典意义上为真，如果其受限形式在给定的直谓系统中可证。

• 在对直谓定义的刻画中，我们是否应该在为真之上再加上知识方面的要求？我们是否应该要求递归性构造性地可证？对于这两个问题，合理的回答似乎都是同时发展两种解释。

• 全体超算术集的类HC的每一个成员都可以在不使用HC这个总体的前提下得到定义，尽管“是HC的一个成员”这个抽象属性无法在不使用HC自身的前提下定义。既然HC不包含任何只有用HC才可定义的成员，原则（la）就没有被违反。

• 哥德尔论证了，客观上说，恶性循环原则是假的。从一种构造主义的观点或认为名字是按某种顺序被引入的唯名论的立场看，人们可能认为这个原则已然得到确立，因为我们没有超越它的构造性方法。不过如何容纳布劳威尔的自由选择序列这个问题或许向我们表明，这个原则是不充分的。

• 在亚里士多德的《工具论》中，《范畴篇》是关于词项的理论，《解释篇》是关于判断的理论，《前分析篇》关于正确推理（三段论）的理论。《后分析篇》处理需要真前提的科学推理（证明），并给出了一门科学的初始命题（公理）必须满足的条件和一个关于定义的理论。《论辩篇》讨论辩证推理，并从赢得论辩的实践兴趣引向对正确推理的理论兴趣。

• “绝对非复合的表达式表示实体、数量、性质、关系、位置、时间、状态、施动或受动”。这反映了一种包含三类存在的本体论：个体（第一实体），类（第二实体），属性（另外九个范畴）。从这样的观点看，逻辑常项不属于这些范畴中的任何一个。其部分解释是，表达式是诸如名词短语和动词短语之类的单元，因此介词可以忽略。

• “当一事物被用来谓述另一事物时，所有可用来谓述谓词的事物也可用来谓述主词”。“可谓述”关系更多地对应于类包含关系，而不是类成员关系。但更仔细地观察会揭示出一种贴近唯名主义本体论的混合物，这种本体论不承认与物理实在无直接接触的（不以个体为成员的）较高层次的类（或属性）。一个第一实体可以属于一个类（或落在一个对其真实的属性之下），但一个类（或属性）只能包含于另一个类（或属性）。

• 亚里士多德的观点不是彻底唯名主义的，因为当A和B对同一组个体为真时，它们并没有被视为等同的。根据唯名论者（在这里所设想的意义上）的看法，一个共相的真实内容由其所涵盖的个体穷尽。

• 在处理三段论时，将单称词项排除在外会让理论变得更整齐，因为那样一来，每个词项都可以被不加限制地用作主词和谓词。亚里士多德所要求的仅仅是，在每个三段论中，至少有一个词项可以时而为主词，时而为谓词。

• 谓述过程还有一个上限。对于这些终极谓词，不可能用另一个谓词来谓述它们，但它们可被用来谓述其他事物。个体不能谓述其他事物，尽管其他事物可以谓述个体。在这两个极限之间的东西，则可以以两种方式被使用：它们既可以用来述说他物，也可以被他物述说。

• 逻辑学研究推理，而推理所指向的事情之一，是把握命题之间的必然联系。“推理是一种论证，在此过程中，某些东西被规定下来，另一些东西则从它们必然地得出。因为论证始于‘命题’，而推理的主题则是‘问题’，每个命题和每个问题都指示性质或定义或属或偶性。”

• 命题被想当然地假定为具有主谓形式。亚里士多德认为有必要论证一个更强的论点：所有命题都是由主词后面跟着上述四类谓词中的一种构成。从语法的角度看，这对应于把每个句子分析为一个名词短语和一个动词短语。

• 对亚里士多德来说，一个简单命题就是一个主谓命题，它被肯定或否定（质），是全称的或特称的（量）。“简单命题是关于某物在主词中出现或不出现的有意义的陈述。”

• 《解释篇》十分明白地介绍了A（全称肯定）、E（全称否定）、I（特称肯定）、0（特称否定）对当方阵。这就为精确地研究有关这些基本形式的命题的逻辑推理奠定了基础。

• “我们说一个词项谓述另一个词项，只要找不到主词的任何实例，不能用另一词项述说它；‘不能谓述任何东西'，也必须以同样的方式来理解。”

• 关系似乎可以还原为关系项：我们不说aRb，而代之以说a=R’b或a∈R’’b（a是那个与b有R关系的对象，或a属于与b有R关系的事物的集合）。所提议的这种还原会导致对关系的忽视。对于一个三元关系Sabc，为实现向关系项的还原，我们可能要引人多个特设的二元关系。

• 有人可能会尝试用更复杂的方法把关系还原为属性。从一个等价关系可以得到一个属性，它为该关系前域（及后域）中的全部成员所共有。如果所考虑的关系只是简单地说两个项不同，那么人们可以说，存在某个属性不为二者所共有。但对于不那么简单的关系，我们就不再能找到这种特别的还原。

• 就亚里士多德的用法而言，将下述形式定理归给他是适当的：(1)如果所有B是A且所有C是B，那么所有C是A。

• 这清楚地展示了逻辑形式的概念，因为我们可以很容易地想到(1)的实例，并将每个实例的成分分析为两类，我们视为变元的成分归入第一类，我们视为固定和不变的成分归入第二类。固定不变者就是逻辑常项。

• 亚里士多德以直觉的方式应用了命题逻辑的某些部分，既没有将它们公理化，甚至也没有一贯地明确陈述它们。亚里士多德的公理，即便被适当地重新解释，也是不完全的，其中“完全的”是指能证明三段论系统中的所有真表达式并拒斥它的所有假表达式。

• 亚里土多德的某些论断可以看作他的系统的元定理。“在每个三段论中，必有一个前提是肯定的，也必须出现全称命题。”“所以很清楚，每个证明和每个三段论都只通过三个词项进行。三段论的结论是由两个而非多于两个前提得出的。”

• 不可分辨者的同一性：“因为普遍一致的看法是，只有不可分辨且本质为一的事物才有完全相同的属性。”同一律“所有A是A”在亚里士多德著作中没有明确表述，只在证明中用到一次。

• 三段论处理的是类和它们之间的两种关系：包含（⊆）和交（I）。它所涉及的四种基本命题形式为：(A)A≠0∧A⊆B，(E)¬AIB，(I)AIB，(O)A=0∨¬A⊆B。

• 基本任务局限于一个特殊的问题：用三个词项构成三个命题，每个命题都属于给定形式中的一个，每个词项都恰好出现在两个命题中，然后问其中一个命题是否可从另外两个逻辑地推出。

• 关系被看作至少和属性一样重要；一旦我们认识到从关系到关系项的还原有缺陷，探究一种关系逻辑就变得十分自然。个体不应被排除在外，因为尽管科学通常不对任何特定的个体对象感兴趣，但它却对类与其成员之间的关系一般地感兴趣；因此应当以显式的方式使用量词对“A⊆B”进行分析。被隐含地使用的命题逻辑也应系统地加以发展。

• 正确推理的前提不必为真，这是今人熟知的一个观点，在亚里士多德那里似乎已经被提到。不知其前提为真与否的三段论是被允许的。

• 对亚里士多德来说，所有的纯科学知识都是必然的，并且其中每一条要么是基本真理，要么是通过证明从已有的科学知识得到。基本真理要么是公理，要么是论题,论题则要么是假设，要么是定义。

• 公理包括对任何事物都为真的命题，如矛盾律和排中律，也包括适用范围更受限的命题，后者只用于数量。公理似乎与欧几里得的“普遍概念”相呼应。假设则似乎与欧几里得的“公设”相呼应。

• 必然命题以这样一种方式将谓词归给主词，使得谓词是一个满足如下条件的属性：（1）对主词的每个实例为真；（2）是本质属性；（3）相称的和普遍的。

• 对亚里士多德来说，定义是一种客观的东西，任何被提出的定义都或者是正确的，或者是不正确的。给出“一个名字的意义”，只不过是在给出一个名义的定义，这种定义相对来说不重要，并且与三类实质的定义根本有别。

• 定义是（a）关于本质性质的一个不可证明的陈述，或（b）关于本质性质的一个在语法形式上有别于证明的三段论，或（c）一个给出本质性质的证明的结论。

• 定义之对象是一个给定的名字所涵盖的众多个体的某种普遍的或共有的性质。证明并不必然蕴涵形式或多外之一的存在，但它确实蕴涵着，可以用一真实地述说多；因为如果这不可能，我们就无法保全共相，而一旦共相丢失，中项就会随之而亡，证明也就变得不可能。所以必定存在一个可明确地用来谓述众多个体的单一、不变的词项。

• 对第一前提的知识既不能是天赋的，也不能是习得的。因此我们必定拥有某种能力，由之可发展出那些基本知识。我们发现这一能力就是感官知觉，它发展成记忆，于人又进一步发展为“经验”。作为重复性记忆的经验创造了（或者就是）概念。这看起来是对概念形成的一个不充分的说明。

• 无论是对于概念还是对于前提，从殊相到隐含于其中的共相的通路，据说都是由归纳实现的。对第一前提的把握是通过直观。因为这种直观能直接把握必然（因而也是普遍的）真理，所以它是一种理智直观。亚里士多德得出结论，存在这样一种创造性的科学源泉，它能把握原初的基本前提。他对此的讨论听起来像是一个先验论证：由于科学知识的存在是事实，且只有存在那种直观时它才是可能的，所以必定存在那种直观。

• 亚里士多德没有对同一律做明确陈述。但他的确明确地陈述了矛盾律（同一属性不能在同一时间和同一个方面属于又不属于同一个主词）和排中律（在彼此矛盾的两项间不能有居间者）。他还明确地陈述了一个人们熟悉但有点空洞的真理标准：p当且仅当p是真的。

• 待矛盾律和排中律的更自然的方式是将它们视为元逻辑原理，这些原理规定了我们使用二值逻辑。如果我们这样考虑制定命题演算的任务，追问支配联结词的定理，排中律把可能的值限制到两个，而矛盾律则要求联结词是真值函项(复合命题具有一个完全由其成分的真值决定的唯一的真值)。对“非”的解释完全由这些定律决定，而更多用法和方便性上的考虑则决定究竟哪些真值函项与其他联结词对应。

• 亚里士多德哲学的两大支柱可以说是他的逻辑和他的发展体系。他的逻辑并不直接适用于他的发展体系，而是仅仅适用于将变化过程凝结为静态命题的科学知识。逻辑预先假定所有词项都是“单义的”，它们是每次使用时都保持其意义的语词。

• 一阶或受限的谓词演算（量化理论（如何用量词对命题中个体的范围和数量进行表达和推理））有许多吸引人的性质，这鼓励我们将它与一阶逻辑或纯逻辑或逻辑自身相等同。接受了这一等同，我们就可以将逻辑真理的领域确定为该演算的定理（或这些定理的代人实例）。

• 追问这样的等同如何能够得到辩护，这个问题可以分成两部分：我们如何选择逻辑常项（逻辑语法），以及在选定逻辑常项之后，我们如何确定逻辑真理的领域。

• 假设我们已经选定了量化逻辑现行语法的各种可能形式中的一种。（a）词汇或其片段：个体变元x、y等（的范畴）；（一元的、二元的等）谓词或谓词字母（或变元）或二者兼有（的范畴）；可能有名字和函数符号（的范畴）。（b）构造性小品词或逻辑常项：真值函项性联结词；量词；可能还有一个表示谓述关系的符号。句子（或合式公式）可按熟悉的方式定义，它与（a）和（b）一起构成我们的逻辑语法。句子的语法结构由逻辑常项的位置决定。

• 一个句子逻辑地为真，如果所有具有相同语法（或逻辑）结构的句子都为真；或者等价地说，无法通过词语代换将它变成假的。

• 如果我们不使用名字、函数符号和谓词字母（或变元），那么逻辑真理在所有合适的（在一种可精确界定的意义上）谓词变换下都保持为真。

• 如果我们不使用任何固定解释的名字（及函数符号）和谓词，那么一个句子（或模式或句子形式）是（逻辑）有效的，如果它在所有模型中为真，这里一个模型可以变动对变元（及模式字母）的解释，但不可以变动对（逻辑）常项的解释。

• 如果我们允许上面提到的所有记号，那么一个句子逻辑地为真，如果它为真且不包含逻辑常项以外的任何常项；仅有的其他基本要素是变元，它们在自由出现时被视作全称量化的。

• 表述逻辑真理的一个自然的方法是通过逻辑有效性，它意指在所有解释下（在所有可能世界中）保持为真。只要当我们在特定受限的类中变动谓词时它总是保持为真，一个量化句子就是在我们期望的意义上有效的。

• 只要这样的一个句子有模型，它就有算术模型。因此只要这样的一个句子是对所有算术谓词有效的，它就是无条件有效的。表达（自然数的）相等、加法和乘法的谓词以及它们的逻辑组合，就是我们所需要的全部。因此如果我们按照惯例同意将逻辑组合自动视为谓词，一个有穷的基本谓词清单就足够了，只要关于相等、加法和乘法的那三个谓词由之可以得到即可。

• 鲍尔查诺称一个命题相对于它的成分i、j等是有效的，如果随意改变这些成分所得的结果都是真的。他称这些命题是广义分析（分析地为真）命题。他将狭义分析命题定义为那些其不变部分都属于逻辑的广义分析命题。

• 根据鲍尔查诺，“一些命题A、B、C、D等和O、M、N等是相容的，特别是相对于概念等”，如果“存在一些概念，当它们被置于i、j等位置上时，能使所有这些命题为真”。如果我们把那些固定不变的部分看作逻辑常项，把i、j等看作变化的部分（谓词和变元的变域等），我们在这里所拥有的差不多就是现代的模型概念。

• 鲍尔查诺引入了一个可推演性概念:“说命题M、N、O等是相对于i、j等变项由命题A、B、C、D等可推演的，如果i、j等位置上的使A、B、C、D等命题为真的每组概念，也使M、N、O等命题为真。”这表示一个句子集X（逻辑地）蕴涵一个句子p，当且仅当p在X的每个模型中为真。鲍尔查诺的可推演性概念为形式逻辑系统的完全性提供了一个标准：一个形式系统是完全的，当且仅当该系统中的形式可推演性和鲍尔查诺意义上的可推演性是等外延的。

• 结构预设了任意的集合；满足（是…的模型）关系既预设了结构，也预设了对逻辑常项的那些先定的解释。当我们谈论模型概念时，我们通常是指满足关系（⊨）。

• 给定一个句子（或合式公式）的概念和一个模型的概念，我们可以一般地定义逻辑蕴涵关系和强完全性的概念。令X为一个句子集，p为单个语句。（LI）X逻辑蕴涵p当且仅当p在X的每个模型中为真，亦即对于每个结构M，如果叫M⊨X，则有M⊨p。称p是有效的，如果空集逻辑蕴涵p，即每个（合适形式的）结构都满足p。

• （LC）在给定的句子概念之下的一个形式系统S是强完全的，当且仅当由逻辑蕴涵可推得S中的形式可推演性（如果X逻辑蕴涵p，则有X⊢Sp）。普通（弱）完全性则只要求每个有效的句子p在S中是可证的。

• 现代逻辑的一个基本结果是，常见的一阶逻辑形式系统，相对于一个看起来十分自然的模型概念，在上述意义上确实是强完全的。

• 弗雷格提出了第一个一阶逻辑形式系统，后者被证明在每个有效句皆可证的意义上是完全的。弗雷格还将函数的概念推广到了真值函项和命题函项上，并第一次给出了现代的量化形式。

• 我们能用我们的非形式概念Vi说服自己相信：（a）如果⊢A，那么Vi(A)。我们还有一个十分精确的、数学的模型或有效性概念VS，它是用任意的集合论结构定义的。既然VS指称所有可能的解释，这些结构作为特别的一种必然也包含在内。因此无论Vi的确切涵义是什么，我们都可以断定：（b）如果Vi(A),那么VS(A)。（弱）完全性的证明没有使用非形式的概念，而是数学地给出的：（c）如果VS(A)，那么⊢A。将（a）、（b）、（c）合在一起，我们得到，Vi、VS和⊢是等外延的。我们不仅得到了“S的所有有效语句（VS意义上的）都是S的定理”这个数学结果，还得到了一个看起来不太精确的定理，即S的所有非形式有效句也都是S的定理。

• 希尔伯特和阿克曼重新发现了鲍尔查诺关于逻辑系统完全性的一般标准，并将其应用到一个与弗雷格的系统S相似但更为精确的具体系统上（选用的逻辑常项与现行形式一致）。该系统的完全性问题被作为一个待解问题提了出来。

• 希尔伯特提出了一个对完全性概念的新表述，它使用有穷论语言。结果证明这个提议不能令人满意，因为希尔伯特将一个句子A的有效性等同于其全体算术实例在一个特定的数论形式系统Z中的可证性。所允许的不是任意结构，而只是那些其集合和关系在系统Z中可表达的结构；更具限制性的是，不是要求4的实例为真，而是要求它们在Z中可证。

• 完全性定理不仅表明由VS(A)可推得⊢A，它还表明一种较弱意义上的有效性，亦即自然数论域上的有效性，足以保证在标准谓词逻辑系统中的可推演性。如果Vn(A)，那么⊢A。

• 逻辑蕴涵的另一个性质，即紧致性对于把握完全性的全部内容也很重要。只要X是有穷的，我们就可以通过合取将其转化为一个单个的句子B。此时X逻辑蕴涵p当且仅当B⊇p是有效的。这样凭借弱完全性，我们就能得到⊢B⊇p,从而有X⊢p。

• 只有当X是无穷集时，我们才需要系统S具有紧致性：系统S的语言下的一个无穷语句集X有模型，当且仅当X的每个有穷子集有模型。常见逻辑系统完全性的通常证明，可以很容易地被扩展为一个紧致性证明。给定紧致性，我们可通过将无穷情形归约为有穷情形得到强完全性。

• 给定一阶逻辑的语言和与之相伴的模型（或满足关系）概念，人们习用的形式系统S是强完全的。一旦我们选定了现行的逻辑常项清单，我们就拥有对逻辑蕴涵关系的一个十分成功的阐释（通过一个形式系统）。

• 在日常和数学话语中，像存在、析取和蕴涵之类的概念并不是完全固定的。我们可以说直觉主义者选择了相同的逻辑常项但赋予它们不同的解释，也可以说他们使用了不同的逻辑常项。

• 是否应将等同符号或等词算作逻辑常项，这是人们熟知的一个问题。等同符号表示的是一种普遍关系，当我们允许涵义不同但指称相同的词项存在时，它很有用。我们有这样一些形式系统，它们由谓词逻辑加上等同符号扩充而来，并且继承了完全性和强完全性的性质。

• 如果我们把等同符号算作逻辑常项，我们就不能再说，那些为真且所包含常项都是逻辑常项的句子是逻辑真理；因为那个时候，会有一些真语句只包含逻辑常项，但似乎不应被视为逻辑地为真。我们也不能再说，用谓词替换谓词总是保持逻辑真。

• 在谓词逻辑中，当我们只关心有限数量的谓词时，我们可以用其他谓词来定义等词。假设Rxy是唯一的谓词，我们有∀x(Rxz≡Ryz)∧∀w(Rwx≡Rwy)作为x=y的定义。

• 完全且紧致的形式系统L(Q)通过添加需要固定解释的逻辑常项Q（“存在不可数多的”）扩充了一阶逻辑。有人认为，二阶逻辑之所以不令人满意，是因为它无法被形式公理化。同样的论证不再适用于L(Q)。

• 系统L(Q)要求进一步的扩张。一旦我们接受不可数性为逻辑概念，就没有什么能阻止我们把更高的无穷也算作逻辑常项。因此与一阶逻辑系统相比，L(Q)没有提供一个自然的终点。

• 林德斯特罗姆的定理既表明了一阶逻辑的高度稳定性，也表明了它的局限性。它给出了一个关于逻辑的一般概念，并断言一阶逻辑系统的明显扩张最终都等同于这个系统本身，只要它们满足勒文海姆定理（任何句子只要有模型就有可数模型），并且或者具有紧致性或者是形式可公理化的。

• 当我们感兴趣的是集合论或经典分析时，勒文海姆定理通常被看作一阶逻辑的一种缺陷。因此所证明的不是一阶逻辑是唯一可能的逻辑，而是这样一个命题：当我们在某种意义上否认不可数性概念的实在性，并要求逻辑证明是形式地可检查的（关于可公理化或紧致性的要求）时，一阶逻辑是唯一可能的逻辑。

• 在一阶逻辑中，每个可满足的句子p都有很多模型，因此我们可以将一个模型类M(p)与p相联系。如果p是不可满足的，那么M(p)就是空的。通过这种方式，我们能得到一个集族C={A|A=M(p)，对于某个p}。这个集族C由一阶逻辑决定，反过来也能决定一阶逻辑。我们现在可以抽象地考虑具有特定自然而普遍的性质的集族CL。这些集族被认为是（或决定）广义逻辑系统。紧致性和勒文海姆定理所对应的性质也可以用这些集族表达。

• 如果我们抛开对逻辑常项的异常解释（如直觉主义解释和量子论解释）不谈，或者将它们视为派生性的，定义逻辑并为之做辩护的问题可以等同于对逻辑常项的选择问题，特别是关于如下事实的辩护问题：命题联结词和量词被选作了逻辑常项。如果我们能给出一个对逻辑的自然定义，并表明这个定义导向这一选择，那么我们也会有一种答案。

• 我们可以诉诸量、质、关系和模态等传统范畴。一元谓词逻辑处理量，命题逻辑处理质，多元谓词逻辑处理关系，模态逻辑处理模态。仅就数学和科学而言，模态逻辑是不必要的，因为模态概念的出现并非不可或缺，可以用其他逻辑和元逻辑概念将它们解释掉。

• 逻辑常项问题是所谓“哲学逻辑”的核心问题。它可以用几种方式表述：查明逻辑形式和逻辑常项真正的特征；给出一个对逻辑小品词概念的一般的、易懂的说明；在人类知识的整体视野中为逻辑寻找一个自然的位置；从对命题观念的反思中提炼逻辑。

• 称一个命题B是命题A的（逻辑）后承或由A（逻辑地）可推演，如果每当A为真，B也为真，或者在每个可能的世界中都有，A真则B真。因此我们应该探寻一个关于可能世界或解释或模型的自然概念。

• 我们似乎可以合理假定，在科学语言中有句子，每个句子或真或假且二者只居其一。还可以合理地相信，应该存在一些词项和包含这些词项的句子，这些句子是如此简单，其真假只取决于其所描述事态的有无，而不依赖于其他句子的真假。

• 《逻辑哲学论》论证了不可分析（“基本的”）命题的必要性。“如果世界中不存在实体，一个命题是否有意义就会依赖于另一个命题是否为真。在这种情况下，我们无法勾画出任何世界图像（真的或假的）。”（2.0211，2.02212）这种想法无视关于知识的事实，而是预设我们必定有一种特殊的世界图像（真的或假的）。

• 假设我们有一个命题集，它在数量上可能有穷也可能无穷。对命题进行分组的最常见方式是将相同结构的命题放到一起。把名字换成变元并添加量词，我们就得∀xFx和∃xFx，它们分别断定所有形为Fa的命题的合取和析取。

• 我们将一个函项（一般概念，谓词）应用到一个主目（个例，主词）上以产生一个真值。它伴随着一个命题域，该命题域由所有函项相同但主目有别的命题构成。如果我们把这一想法当作全称量化的来源，并结合以否定的基本运算，我们就能通过一些自然的约定得到我们熟悉的那些逻辑常项。

• 这与维特根斯坦的一般命题形式相关但不同。后者的一个特征是允许我们断言一个给定集合中的所有命题为假。当存在无穷多命题时，这将太过一般化，因为我们有不可数多的命题集。

• 维特根斯坦还有另一个诱人的论断，它给人以这种印象：仅仅通过反思（一般形式的）命题的概念，我们就能达到那些逻辑常项。仅有的逻辑常项是所有命题依其本性共同具有的东西。但那正是命题的一般形式（5.47）。存在量化、合取乃至等同，都已经隐含在了简单命题的概念中。否定也包含在命题的概念中，因为一个命题总是或真或假，两种可能性我们都考虑。

• 一般命题和它所对应的逻辑积在意义上并不相同。（1）我们并不总能写出那个逻辑积。（2）当我们能写出时，我们也应该添加一个子句说明该逻辑积包含所有实例。（3）我们能够理解一个一般命题而不必听说其全部实例。（4）一个一般命题意在指涉一个对象总体，它与其全部实例之逻辑积的等价性依赖于这一假定：该总体中的每个对象都有一个（标准的）名字。

• 从真转向有效性，更多地是在我们选定逻辑常项之后帮助我们定义逻辑真，而不是为了核证我们对逻辑常项的特定选择。给定我们已选好的特殊的逻辑常项，如果我们假定了一个合适的可能世界概念或一个合适的、关于可能性的模态概念，我们也会得到一个自然的逻辑真概念。

• 在定义纯逻辑的语句及其有效性时，我们使用了递归方法，并设想有无穷多的实例。在考虑模型时，我们也允许无穷模型的存在。这将我们引向《逻辑哲学论》中以形式概念和形式序列的名义讨论的东西。我们也找到了从一阶逻辑到数理逻辑的自然过渡。

• 逻辑对世界无所断言。逻辑真不应该依赖于世界中有多少个体。然而罗素和拉姆齐都相信，要得到普通数学，我们不但需要假设个体存在，还要假设有无穷多的个体存在。他们相信数学只有借助无穷公理才能建立起来，后者被认为是一个关于世界的经验命题，并因此可真可假。罗素和拉姆齐关于逻辑和数的哲学肯定是错误的。无穷应当来自别的地方。

• 我们能够根据自己的意愿重复某些操作任意多次。这一事实对于我们的直观是如此清楚，以至于在构建逻辑和数学时，我们有充分的理由把它当作理所当然的。我们在数学中当然思考无穷，或至少思考潜无穷，与这个世界是有穷还是无穷无关。

• 作为一种逻辑可能性，我们可以假想如下的自然史：我们从构造一阶逻辑（一种空逻辑）开始，它是我们描述世界的一般语言的一部分，但不预设任何特定数量的事物在世界上存在。反思这个语言和如此构造的这个系统，我们发现我们可以无限制地重复以某些特定的方式从给定表达式得到新表达式的过程。当我们试图描述这一可能性，我们被引导去建立一些无穷系统。它们可被视为对正整数的一种自然表征。

• 我们从正整数的每个定义性质得到一个类。给定任何语句形式Fx，我们能够找到一个正整数的类K，使得对于每个正整数x,都有x属于K当且仅当Fx为真。

• 之后为正整数的类引入变元就是自然之事，这使定义语句形式Fx扩展为包括这些变元，它们或是自由的或是约束的。如果我们不加限制地重复这一过程到任意的n，并增加外延公理和选择公理，我们就到达了通常的简单类型论。如果我们继续扩张到超穷域，我们就进入通常所说的公理集合论，在后者那里，不同的类型在记法上的区别被取消，尽管概念上的类型区分仍保留。

• 对于试图用模态概念来处理逻辑和数学基础问题的人，避免使用直接让人想到模型和集合论解释的可能世界概念，转而强调与命题（及它们之间的蕴涵关系）、倾向、定律和条件联系更为紧密的可能性概念，是更可取的做法。

• 一个数学陈述为真可以这样来理解：满足基本条件（例如公理）却不满足该陈述的解释是不可能的。这里有一种模态解释和集合论解释之间的对偶。

• 模态进路的另一个优点是，与哲学家所发明的持存和分析性等概念不同，可能性和必然性是更自然的概念。一个与此相关的好处是，它们不仅关乎数学，也关乎一般形而上学。然而模态概念于我们似乎就有一种基本的歧义性。

• 元逻辑可定义为对形式语言和形式系统之语法（关注逻辑系统的形式规则，即如何合法地构造符号、公式或表达式，而不涉及具体含义）和语义（研究逻辑公式的意义和真值，即如何解释符号并确定公式的真假）的研究。它与对自然语言的形式化处理有关，但并不包含后者。

• 一个形式语言一般要求一组形成规则，即对何为合式公式（语句或有意义的表达式）的一套机械而完备的规定。这种规定一般包含三部分：机械地给出一个初始符号的列表，机械地挑出这些符号的某些组合作为原子语句，然后用若干归纳条款规定，语句在逻辑联结词（命题联结词和量词）下的自然组合仍然是语句。“机械”是指机器可以检查候选者是否满足要求。

• 形式语言的解释由一个对象域和对原子语句的解释（哪些常项指称哪些对象，哪些谓词和函数符号指称哪些关系和函数）决定。每个句子的真值（真或假）都将由逻辑联结词的标准解释得到确定。给定对一个形式语言的任何解释，我们都能得到一个形式的真概念。真、意义和指称是语义概念。

• 如果我们在一个形式语言下引入一个形式系统，我们还会遇到公理、推演规则和定理等语法概念。某些句子被机械地挑选出来当作公理。公理是（基本）定理。然后有一些归纳条款，它们断定：如果某些句子是定理，那么以一种合适的方式与它们相关的另一个句子也是定理。

• 哥德尔做出的一个基本发现是，在大多数有趣的形式系统中，并非所有真句子都是定理。语义不能归约为语法，我们经常得区分与证明论密切相关的语法和与模型论密切相关的语义。语法是数论的分支，语义则是集合论的分支。

• 形式系统的形成规则包括初始符号、项、原子语句、其他语句。形式系统的公理和推演规则包括（一阶）谓词演算（包括命题演算）的公理、形式系统的公理、推演规则。

• 由形成规则与公理和推演规则所规定的形式系统在如下意义上是一个形式系统：给定初始符号的任意组合，我们能机械地检验它是否是形式系统的一个句子；给定一个有穷的句子序列，我们能机械地检验它是否是形式系统中的一个证明，即是否该序列中的每个句子或者是一条公理或者是通过一条推演规则由序列中在先的句子得到。不存在机械的方法来判定形式系统的一个句子是否是它的定理。

• 形式系统N允许不同的解释。预期解释或标准解释用普通非负整数作论域，符号0和1指称零和一，符号+和•表示普通加法和乘法。相对于此解释，我们可以为N的语言给出一个真定义。

• 区分开语句和闭语句是必要的。x=1是一个开语句，它可真可假，取决于x的取值是什么；0=1和∀x(x=1)则是闭语句（在预期解释下二者皆为假）。

• (1)一个原子闭语句是真的当且仅当它在直观意义上是真的。这一界定就其本身而言不是语法的，但我们能够给出一个明确、机械的界定，它告诉我们哪些原子闭语句在直观意义上是真的。(2)闭语句¬A是真的当且仅当A不是真的。(3)闭语句A∨B是真的当且仅当A或B是真的。(4)闭语句∀vA(v)是真的当且仅当A(0)，A(l)，A(1+1)，…，都是真的。

• 上述真定义不是一个显式定义，而是一个归纳定义。使用集合论概念，我们可以得到一个显式的定义，它产生的句子集恰由全体真语句构成。如果我们使用哥德尔的方法，用数来表征符号和句子，那么我们就能在集合论中得到一个自然数的集合，其元素恰为N的真语句的哥德尔数（将形式语言的所有表达式（符号、公式、证明）映射到唯一的自然数）。

• 在一种明确的意义上，在一个语言自身中为该语言定义真是不可能的。这可以借助说谎者悖论证明。

• 公理方法以一种线性方式进行，它从一组初始的概念和命题开始，逐步定义或推导出理论中的其他所有概念和命题。

• 一旦我们达到这种形式系统，就有可能把一些语义问题转换成更明晰的语法问题。模型方法只能确立相对一致性，它必须在某个地方结束。有了形式系统后，我们得到的是一个具有组合特征的、严格语法化的一致性问题。

• 我们感兴趣的一个问题是系统有没有范畴性，即在同构的意义上唯一地决定一个解释。这在一定程度上可以替换为一个相关的语法完全性问题：是否存在系统的一个闭语句A，使得A和¬A都不是系统的定理。希尔伯特强调了像一致性和完全性这种清晰的语法问题，并称关于这些问题的研究为元数学（或证明论）。

• 逻辑学家感兴趣的定理都是关于逻辑的，因而属于元逻辑。每个数学定理p，包括关于逻辑的，都可以转换成一个逻辑定理¬P∧p，其中P是用来证明p的数学公理的合取。

• 普通形式系统与逻辑演算的不同之处在于，前者一般有一个预期解释，而后者则刻意让解释保持开放。对于形式系统中的句子，我们谈真假，而对于逻辑演算中的句子，我们则谈有效性（在所有解释或所有可能世界中为真）和可满足性（在某个解释中为真）。因此逻辑演算的完全性和形式系统的完全性意义十分不同：前者允许很多闭语句A满足“A和¬A都不是定理”；后者只要求每一个有效语句都是定理。

• 符号学是关于符号和语言的一般科学，由语用学（其中要提到语言的使用者）、语义学（把说话者抽象掉，只分析表达式及其意义）和语法学（把意义也抽象掉，只研究表达式之间的关系）三部分构成。

• 在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦将逻辑真理解释为在所有可能世界中为真的句子。形式语言中有些句子基于逻辑为真，有些句子基于事实为真。前者的逻辑值域是普遍的，后者的逻辑值域更受限制。一个句子的逻辑值域就是所有它在其中为真的可能世界的集合。

• 给定一门科学的形式语言，我们或多或少可以为它定义一个真概念。这样的一个真定义为每个语句确定真值条件，即使其为真的充分必要条件。语句的意义则被等同于其真值条件。

• 元逻辑在递归论、模型论和公理集合论（特别是独立性结果）中引发了大量数学性质的工作。用图灵机解释机械过程的做法引发了对理想化计算机的研究，并在有穷自动机理论和数学语言学中产生了一些后果。

• 关于完全性和一致性这两个核心问题，哥德尔为那些有趣的形式系统提供了强有力的结果。（1）如果它们是ω一致的，它们就不可能是完全的。（2）如果一个形式系统是一致的，那么断言其一致性的陈述本身在该系统中是不可证的。

• 可判定性是集合的一种性质：能否找到一个机械方法，判定给定的一个形式系统的任意一个闭语句是否为真。可判定性还有另一种意义：闭语句A在一个形式系统中是不可判定的，如果A和¬A都不是该系统的定理。哥德尔的不完全性结果有时这样表述：每个有趣的形式系统都有不可判定的语句。很容易推广哥德尔的结果以表明：（3）有趣的形式系统是不可判定的。

• 第一个也是最核心的结果是：像N这样的系统是不完全的，并且由于这个定理适用于任何合理且适当丰富的系统，它们还是不可完全的。

• 考虑如下语句：(1)这个句子在形式系统S中是不可证的。哥德尔在S中找到了一个句子p，它可以被看作表达了(1)。

• 假如S是完全的，那么或者p是S的一个定理，或者¬p是S的一个定理。如果p是定理，那么p或者说语句(1)是假的，从而在某种意义上S有一个假的定理。如果¬p是定理，它断言并非(1)，或者说p在S中是可证的。因为¬p是定理，它应该是真的，这样我们似乎就得到两个相互冲突但都为真的句子：p在S中是可证的，并且¬p在S中是可证的。只有在S不一致时，这才可能成立。

• 哥德尔精确版本的定理断言，如果S是适度丰富且ω一致的，那么p在S中就是不可判定的。ω一致性是一个比一致性稍强的概念，它要求我们不能在S中同时证明∃x¬A(x)和A(0)，A(1)，…全体（某个数没有性质A但同时每个个别的数又都有性质A）。

• 哥德尔证明了：如果S是一致的，则p是不可证的；如果S是ω一致的，则¬p是不可证的。前半部分导向哥德尔关于一致性证明的定理：如果S是一致的，则表达S一致性的算术语句在S中是不可证的。它经常被简单地表述为：没有有趣的系统能证明自身的一致性，或不存在可以在S中形式化的S的一致性证明。

• 该定理之证明的本质部分是“如果S是一致的，则P是不可证的”这个命题的算术版证明在算术中的一种形式化。它主要在于构造一个数论中的推演，该推演从表达S一致性的算术语句Con(S)导向p。这就意味着，如果Con(S)是可证的，则p也是可证的，与前面的结果矛盾。

• 不可判定句具有相对简单的形式：∀xA(x),其中A是一个原始递归的谓词。

• 第一不完全性定理的一个直接推论是，该定理所适用的系统S中的真是不可判定的。假如它是可判定的（存在算法能判断某个命题在给定形式系统中是否为真），所有真语句就会形成一个递归的集合，我们可以将它们作为形式系统的公理，而此系统将是完全的。这依赖于一个假设：我们对形式系统之公理的唯一要求是，我们能够能行地判定一个给定的语句是不是一个公理。我们也可以避免这一假设，只需引用一个引理：所有递归或可计算的函数和关系在S中都是可表示的。由于S语言中的真本身在S中并不是可表示的（可定义的），根据上述引理，它不可能是递归的（可判定的）。

• 同一引理还能推出S类系统的定理集也是不可判定的。因为假如存在这种判定程序，就有一个可计算的函数f满足：f(i)=1，如果第i个语句是系统的定理；否则f(i)=0。但f(i)=0所说的正是第i个语句是不可证的。使用哥德尔的方法，我们得到一个语句（比如第t个语句）说它自己是不可证的。由于f在S中是可表示的，如果f(t)=0为真，则它必是S的一个定理。但因为f(t)=0就等价于第t个语句，f(t)=1也为真并因而是在S中可证的。因此假如S一致，它的定理集就是不可判定的。

• 最著名的一致性证明，是根岑为古典数论系统N所做的一致性证明。该证明使用了延至第一个ε数（ω，ω^ω，ω^ω^ω，…的极限）的超穷归纳，后者不能在N中形式化。

• 人们还研究了古典数论和直觉主义数论之间的关系。人们相信，后一种数论具有更强的构造性和显明性。哥德尔发现了古典数论在直觉主义理论中的一个解释。哥德尔还推广了这一结果，以原始递归函数的形式给出了对古典数论语句的构造性解释。

• 我们假定对命题演算的一个描述已经以某种熟悉的方式给出。这个演算在如下意义上是完全的：每个有效的语句，亦即重言式或在所有可能世界（所有解释）中皆为真的语句，都是一个定理。

• 证明完全性的一种方法是注意到如下事实：命题演算足以将每个语句化归为一个合取范式，后者是若干析取式的合取，那些析取式的析取支都是单个的命题符号或命题符号的否定。任何一个这样的合取范式是有效的，当且仅当它的每个合取支是有效的。而它的一个合取支有效当且仅当该合取支包含某个命题符号p和¬p作为其整个析取式的组成部分。完全性随之可得，因为这样的合取支在命题演算中皆可证，而如果这些合取支是定理，整个合取式也就是定理。

• 一致性多是显然的，因为很容易验证所有公理是有效的，并且推理规则从有效的语句导向有效的语句。而矛盾式并非有效的。这里的结论比一致性还要强：只有有效的语句才可证。

• 命题演算还是易于判定的。由于所有且只有有效语句是定理，我们可以通过为一个句子中的每个命题符号指派真值的方式机械地检验句子是否是定理。

• 公理的独立性通常通过使用两个以上的真值来证明：要被证明为独立的公理，可以有某种我们不想要的值，而不使用该公理证明的那些定理却总有所欲的值。这是对多值逻辑的最早暗示。

• 谓词演算的一致性问题相对简单。假设只有一个对象a，这时∀xA(x)和∃xA(x)都变为A(a)，所有的量词都可消去。完成这种消去后，演算的全部定理都会变为重言式（命题演算的定理）。但是句子∀xF(x)∧¬∀xF(x)被还原为F(a)∧¬F(a)，后者并不是一个重言式；因此原来的句子不是定理，故没有矛盾可以是定理。谓词演算不仅是一致的，其定理还全都是有效的。

• 谓词演算的完全性和不可判定性结果则深刻得多。前者归功于哥德尔。后者由丘奇和图灵用十分不同的方法分别确立。

• 完全性结果断言，每个有效的语句都是定理。那么如果¬A不是定理，则¬A不是有效的，并且因此A是可满足的。但说A是一致的无非就是说¬A不是定理。因此由完全性可推得，如果A是一致的，则A是可满足的（有一个模型）。语义概念有效性和可满足性与语法概念可推演性和一致性是重合的。

• 与完全性定理紧密相关的一个结果是勒文海姆-司寇伦定理，它断言一个语句（或形式系统）若有模型则有可数模型。

• 谓词演算中有一些还原或范式定理。其中一个是：每个语句都可还原为一个等价的前束形式的语句，即所有量词都出现在前端的语句。

• 考虑一个简单的前束形式的语句模式：（i）∀x∃yMxy。假设（i）具有一个论域（非空）为D的模型。根据选择公理，存在一个函数f，它为每个x选出一个对应的y。因此（ii）∀xMxfx。令a为D中任意一个对象，则可数子论域{a，f(a)，f(f(a))，…}已经包含了足够多的对象来满足（ii），并且因而也满足（i）。因此只要（i）有一个模型，它就有一个可数模型，后者是前者的一个“子模型”。

• 为了避免援引选择公理，司寇伦还给出了另一种证明，结果表明它对于确立完全性结果也是有用的。我们可以任意地用1来指称a，而不使用由选择公理给出的函数f。由于（i）为真，必定存在某个对象y使得Mly，称这样的一个y为2。我们可以不受限制地重复这一过程，并由此得到（iii）M12，M12∧M23，M12∧M23∧M34，…它们在给定的模型中都为真。（iii）中的每一项都在某个模型中为真。由此就有可能推断出（iii）中的所有项在某个模型中同时为真，即存在一种给所有原子公式赋值的方式，使得（iii）中的所有项都为真。因此（i）在某个可数模型中是真的。

• 哥德尔对完全性定理的原始证明与上面的第二个证明密切相关。我们以（iii）中的句子为例，它们不包含更多的量词。如果它们都是可满足的，那么和之前一样，它们可以同时被满足，（i）有模型。因此假如（i）没有模型，则它们中必有一个（比如M12∧…∧M89）是不可满足的，其否定是一个重言式（命题演算的定理）。即使将1，2，…，9替换为变元，这仍是真的。因此作为通常的谓词演算中表达的一个重言式，¬Mrs∨…∨¬Myz是谓词演算中的一个定理。接下来则不难用谓词演算的常用规则推演出∀x∃yMxy。（i）的否定是谓词演算的定理。因此如果一个句子是有效的（其否定没有模型），则它是谓词演算的定理。

• 完全性定理意味着，判定任意一个句子是不是谓词演算的定理等价于判定任意一个句子是不是有效，或判定任意一个句子是否可满足。

• 停机问题问每台图灵机是否会停机。这里假定图灵机是从一个空的纸带开始。图灵证明，对于每个个别的图灵机T，该问题总可以用谓词演算的一个个别语句F来表达，使得T会停机当且仅当F是不可满足的。因此假如有一个判定程序能判定谓词演算全部语句的有效性（或可满足性），停机问题就是可解的。

• 图灵的结果已经被改进到这个地步：我们需要的全部语句都具有相对简单的形式∀x∃y∀zMxyz,其中M不含任何量词。因此甚至对于谓词演算的∀∃∀语句构成的这个简单的类，判定问题也是不可解的。证明这一点的方法还产生了一个程序，它使我们可以将谓词演算的每一个语句与一个那种简单形式语句相关联。这样∀∃∀语句就构成一个“还原类”。还存在其他多种还原类。

• 一个集合就是一些已经给定的对象的一个聚合；如果对于每个给定的对象x，x是否属于这个集合已经确定，这个集合本身也就确定。属于这个集合的那些对象就是这个集合的元素，而这个集合则是将这些元素聚合到一起形成的一个单一的对象。

• 根据集合的迭代概念，集合就是能通过重复应用“……的集合”这个运算从某些基本的对象（如空集、整数、个体事物或其他某种良定义的基元）得到的东西，其中运算“……的集合”允许把“给定的”对象的任意复多或任意部分聚合为一个集合。这个过程包括了超穷迭代。

• 集合的迭代概念至少涉及四个困难的想法:“给定的”、“聚合到一起”、“部分”或“子集”，以及“迭代”。“迭代”意味着继续到任意阶段（由一个预先给定的序数标记）的潜力，它为“给定的”增添了一个归纳因素（在任何给定的阶段或之前得到的所有集合，也被视为给定的）。

• 只有当一个复多的变域在某种意义上是直观的时，我们才能从此复多得到一个集合。这是判定一个复多是否为我们形成一个集合的标准。获得这种直观的变域的自然方式是使用直观概念。与抽象概念不同，直观概念使我们能在一种理想化的意义上统观（或通观或遍历或聚合起来）一个复多中的所有对象，它们构成这个直观概念的外延，并且在这种统观中，哪些对象落在概念之下毫无意外之处。因此每个直观的概念决定一个直观的变域，进而决定一个集合。

• 对无穷对象域的统观预设一种无穷直观，它是一种理想化。我们不仅把无穷多的整数视作给定的，还把从所有整数的总体中选择整数的过程视作给定的，从而也把在此过程中将某些整数排除在外的所有可能方式视作给定的。我们由此得到一个新的直观的理想化（所有整数集的集合），然后继续前进。

• 我们不关心一个集合是如何定义的，比如它的定义是不是非直谓的。也正是在这种意义上，我们说迭代的各个步骤是“最大化的”。

• 在每个阶段什么是给定的，取决于迭代的一种有序方式。因此序数的概念对迭代概念至关重要：我们用序数标记迭代的各个阶段。当我们根据集合迭代概念生成越来越多的集合时，我们会在所生成的集合中遇到一些良序的集合。这些良序集的序型决定了可用来标记更高的迭代阶段的序数。给定集合生成运算的一个总体，我们还可以盘点由这些运算所能获得的所有序数，并引入新的序数。

• 由于从一个初始的基元集出发生成更多集合的过程是一致的，即无论我们选用什么样的初始集，之后的过程都是一样的，只考虑一种典范的一般情况就是合理的。

• 在关于集合的数学研究中，要求集合的所有元素是集合已成惯例。在这样的限制下，我们说集合就是给定的集合的任何聚合。

• 以我们对集合（最大化）迭代概念的上述解释为基础，我们能够看出，普通集合论公理（ZF或ZFC）对这个概念为真。

• 外延公理（AE）集合完全由其元素决定；即两个不同的集合不可能具有完全相同的元素。如果x和y元素相同，则x=y。这可视为集合（与性质对照）的定义特征。

• 子集形成公理（AS）如果一个复多A包含于一个集合x，则A是一个集合。我们可以在一种理想化的意义上对照A进行检查，去掉那些不在A中的x的元素。这样我们得到对A中所有对象的一个统观，并将A识别为一个集合。

• 幂集公理（AP）一个集合的所有子集可聚合为一个集合。如果x是给定的，则x的所有子集都可由AS个别地给出。我们对有遗漏的遍历有一个直观的观念。这个普遍概念在层次上高于它对包含于x的每个复多AA的应用，并为我们提供了一个对AS应用到x上的所有实例的统观。而这个统观正是我们得以实施聚合行为并得到x之幂集的基础。

• 对于集合论的抽象发展，我们可以方便地忽略基元的多样性，并且实际上可以完全摒弃非集合，使用一个空的基元集。既然我们核证了对于任意一个给定的集合，可形成其幂集，我们就可以在另一个方向上整理迭代过程。

• 我们以秩或类型或阶段的更严格的形式来理解集合迭代概念：每个集合都可以在某个阶段α（一个序数）得到，每个阶段Rα都可通过迭代应用“……的集合”运算从（基元的）空集得到，其中当α=β+1时，运算”……的集合”产生的是Rβ的募集中的全部元素，当α是一个极限序数时，则将先前阶段得到的所有集合聚合到一起。如果Rα是在第α阶段之前的阶段所得到的所有集合的总体，则Rα+1由Rα的所有子集构成。

• 基础公理(AF)每个集合都可以在某个阶段得到；每个非空的集合都有一个极小元，即一个元素x，x的任何元素都不属于那个集合。因为存在该集合的一个元素x，它出现的阶段不晚于该集合的任何其他元素。但x的所有元素都在比x更早的阶段得到，因此它们不属于该集合。

• 无穷公理(AI)存在一个无穷集。

• 选择公理(AC)给定任何一个非空集合的集合x，存在一个集合y，对于x的每个元素z，y恰好含有z的一个元素。由于x的每个元素都是在比x更早的阶段得到，所以x的所有元素的元素也都是在更早的阶段得到，任意选取它们中的一些可以聚合为一个集合。

• 替换公理(AR)如果相应于集合y的每个元素x有一个集合bx，则所有这些bx的并包含于一个集合。常见的形式是(SAR)如果b是一个运算，并且对于集合y的每个元素x，bx是一个集合，则所有这些bx构成一个集合。

• ESPFICR这七条公理将被视为构成普通集合论公理系统ZF（或ZFC）。我们能够看出它们对集合迭代概念为真。

• 假定序数已经给定，我们还能以更为形式化的方式将得自迭代概念的集合层谱重述如下：R0=空集。Rα+1=Rα的幂集，亦即生的所有子集的集合。Rλ=Rα(α<λ)的并，如果λ是一个极限序数。V=所有Rα的并，α是任意序数。

• 集合宇宙是由所有属于某个Rα的x构成的，其中α是一个序数。使得x属于Rα的最小的α一般称为x的秩。

• 哥德尔认为，逻辑概念存在困难并不与这一事实相矛盾：我们有一个令人满意的数学基础，它基于集合的迭代概念。至于与数学相对的逻辑，哥德尔相信，未解的难题主要在于内涵悖论（比如“不能应用于自身”这个概念）而非外延或语义悖论。使用下文要考虑的“破产”和“误解”这对概念，哥德尔的观点等于是说，数学（哥德尔将其等同于集合论）中的悖论是源于误解，而逻辑则因内涵悖论而破产了。

• 康托解释说，元素的一个集合是良定义的，如果根据其定义和排中律，我们必须承认，任何正确类型的对象是否属于该集合是内在地确定的。康托还征引柏拉图的理念概念和其他相关概念，把集合定义为“任何可思想为一的多，即任何可凭借一个法则联合为一个整体的一些元素的总体”。

• 关于为集合论建立公理这个任务，我们可以区分两个问题：（1）我们是基于哪些原则引入这些公理？（2）这些原则的精确意义是什么？我们为何接受它们？

• 关于第一个问题，哥德尔对已经实际被用来建立公理的原则做了如下总结。（1）存在这样的集合，它们表征可直观的变域，亦即在某种意义上可“统观”的复多。

• （2）闭包原则：如果集合宇宙对某些运算封闭，则存在一个集合也对那些运算封闭。这意味着，存在不可达基数，并且存在与其下标相等的不可达基数。

• （3）反射原则：集合宇宙不是结构地可定义的。这个陈述的一种可能的精确化如下：无法用∈-关系在集合宇宙中的内在结构性质唯一地刻画集合宇宙，不论这个性质是在有穷逻辑中还是在无穷逻辑中可表达的。这个原则可看作（2）的一个推广。

• （4）外延化：概括和替换等公理开始是针对定义性质和定义关系说的。后来它们被外延化为适用于任意的聚合或外延性关联。只有当我们对替换公理作外延化理解时，我们才能由（2）得到不可达数。

• （5）集合宇宙的齐一性：当我们从较小的集合转向越来越大的集合或基数时，集合宇宙在性质上不会发生根本的变化，同样或相似的事态会反复发生（可能是以更复杂的形式）。它使强紧致基数的存在显得十分可信，因为关于普通布尔代数的斯通表示定理应该能推广到带无穷和及无穷积的布尔代数上。

• 弗雷格和康托对悖论的反应截然不同，可分别称之为破产论和误解论。这种差异可完全归因于他们不同的集合概念（逻辑概念V.S.数学概念）。而另一个相关的原因或许可描述为如下区别：从外部看集合（弗雷格）和实际从事集合论研究（康托）。

• 误解论的倡导者们提议揭露貌似正确的论证中隐藏的缺陷，而破产论者则认为我们的基本直觉已被证明是矛盾的，并试图尽量重建或挽救它们，必要时可用特设的手段。基本的直觉概念常被称为素朴集合论，并被等同于对绝对概括原则的信念，后者认为每个属性都定义一个集合。

• 弗雷格认真发展了一个接近此概念的概念，这一历史偶然事件经常被认为是我们确有这样一种矛盾的直觉的证据。但从康托所发展的集合论看，我们是否确有这样一种矛盾的直觉，根本不清楚。更恰当的说法似乎是，我们有一种不精确的直觉，当我们注意到其所包含的悖论和缺陷时，它就导向集合的迭代概念。

• 一个更强的论断是，那个不一致的概念是我们拥有的关于集合的唯一直觉。因此一旦它被认为是错的，进行前面策梅洛引文所谈的那种重建工作就成为我们仅剩的任务。

• 人们从事集合论研究时广泛诉诸他们的直觉，并且对于由此得到的研究结果是否正确，人们在实践上有着普遍的共识。集合迭代概念是一个直观概念，并且此直观概念没有导致任何矛盾。

• 我们已经接受了外延、替换、选择和基础等公理，这看来没有疑问。可能稍显可疑的是，我们还接受了以下两点：可构成性假设（所有集合都是可构成的，即可以通过明确的公式逐步构造）是假的；我们应当悬置对可测基数假设（存在一个可测基数κ，即存在一个κ-完全的非主超滤子）之真假的判断。

• 一种立场是：连续统假设在ZF中是不可判定的，因此其真值问题不再有意义。公理和定理是真的，但不可判定的命题既不真也不假。我们把这种折中的观点记为M。

• 这种观点不能解释相对稳定的集合迭代概念，使集合论命题的真假问题成为完全相对的事情，它取决于人们选用哪个形式系统。

• 可构成性假设本身不具有似真性，它的很多结果也不具有似真性。它蕴涵着存在一个实数上的可定义良序，还蕴涵着存在一个相当简单但不具有任何完美子集的不可数集；这些结果与普通数学的直觉矛盾。

• 反对可构成性假设的最核心的理由或许是，我们在本意上视集合为任意的复多，而不管它们如何或能否被定义。因此本质上只是序数的可构成集极不可能为我们提供所有任意的集合。

• 鉴于这种开端上的不似真性，人们可能倾向于赞成某些与可构成性假设矛盾的命题。可测基数的存在就是一个这样的命题，并且它蕴涵着只有可数多的可构成的整数集。基于对可构成性假设之高度限制性的先在信念，这一结果被视作可构成性假设为假的进一步证据，也被视作可测基数假设具有似真性的证据。

• 相对于我们现有的知识，我们更愿意拒绝可构成性假设而非连续统假设CH（ℵ1=2^ℵ0），这一点从连续统假设对可构成集为真得到进一步证实，虽然可能并不完全依赖于它。

• 由于连续统问题在于确定整数子集的数量，只有在确定了要数的对象是哪些（允许哪些整数子集）以及选择怎样的一一对应为基础之后，我们才能解决这个问题。但这样一来我们似乎就陷入一个困境，因为到目前为止，我们能用精确的公理给出的规定，都倾向于与我们对集合和一一对应所期望的那种任意性相矛盾。

• 根据哥德尔，连续统假设有一些不可信的推论。有结果显示，存在不可数的集合，它们直观上看只含有很少元素，或是高度分散的。但连续统假设却意味着，它们同连续统一样大。

• 辩证法的吸引力至少部分是源于这一事实：哲学中最有意义的不是普遍结论，而是他们的意义和限度。因此我们通过辩证对话的方法达到这些普遍陈述的内容。

• 考虑集合论中接受一个假设为真的条件。两个基本的标准是内在的必然性和实用意义上的成功。前者与直觉似真性有关。后者则有各种各样的表现。一个条件是产生正确的低阶结果，包括已知的（确证）和未知的（预测）。另一个条件是提供求解问题的有力方法，包括将各种结果统一起来并超越它们的方法。假设还应该易于陈述和理解。条件可罗列如下：确证、预测、力量、统一和简单性。

• 如果内在必然性是使一个假设升格为公理的唯一途径，那么将集合论与物理学相比较似乎就不再必要。但如果实用成功也能使一个命题为真，人们可能就会怀疑，“真”这个词的意义是不是被扭曲了。

• 两个严肃的立场似乎是：（1）通过接受一条新公理，我们改变或拓展了我们的集合概念，新公理的意义和真值由改变后的概念决定；（2）我们的集合概念始终如一，我们接受新公理是因为我们发现了关于集合的新事实。一种十分诱人的做法是宣称，这里不存在真正的分歧，因为在通过改变意义改变知识和通过获得新信息改变知识之间，不存在严格的区分。

• 内在必然性依赖于迭代模型的概念。旨在丰富幂集的内容或引入更多序数的假设符合该直观模型。我们相信序数的总体是很“长”的，并且每个（无穷集的）幂集都很“宽”。因此任何有此等效果的公理都符合我们的直观概念。难点在于，为了做出增加长度和宽度的具体断言，我们一般需要使用蕴涵其他结论的命题。但这样我们就不再能仅仅诉诸我们的（最大化）迭代概念来核证所有这些命题。没有任何已知的正面原则，能够指引我们寻找新的公理来丰富幂集。

• 决定性公理AD量词德•摩根律在无穷情形下的推广，它断定无穷游戏有制胜策略。限制在投射集上的AD表以统一而优美的方式证明，所有投射集都是勒贝格可测的且具有拜耳性质；它产生了一些令人愉快的关于还原原则的新结果；它易于陈述和理解。但AD却不是在如下意义上被当作公理：我们能从我们的直观概念直接看出它或它的特定受限形式是真的。

• 人们普遍相信，持续迭代的积极概念足以核证不可达数（正则的强极限（2^λ<κ∀λ）基数）和马洛数（κ的不可达基数集是κ的平稳集，即在κ的任何无界闭子集中，都存在不可达基数）。说（强）不可达数存在，其大意不过是说，由ZF公理所蕴涵的集合形成程序得到的集合的全体本身又形成一个集合。

• 核证无穷公理的另一个方法是通过反射原则。迭代概念意味着集合宇宙是非常大的。当我们表达出整个宇宙的某些性质，我们就能找到集合，它们已经拥有这些性质。反射原则推广了不可达数与ZF公理之间的那种关系。它断言，每当我们试图用我们肯定地拥有的东西来刻画整个宇宙时，我们都会失败，这种刻画会被某些（大）集合满足。这种原则已经被用来核证不可达数和马洛数的存在，以及几乎所有ZF公理。它们还被用来核证更大的基数。

• 在关于集合的新公理候选者中，大基数假设确实占据着优先位置，因为在大多数情况下，我们期望能证明，它们只是明确表示，迭代模型包含相应于某些较大的α的秩Rα。这些假设中的很多可以在如下意义上排成线序：对于两个假设H1和H2，我们或者（1）可以在ZF中从H2导出并找到（假定H2成立）一个满足ZF加H1但不满足H2的秩Rα，或者（2）可以对调H1和H2的顺序并得到相同的结果。

• 集合论常被与几何学和物理学做比较。比较涉及不同的方面：这些学科的对象（本体论）、我们的知识的来源（知识论）、命题（公理或假设）及其真实性或可接受性（方法论）。

• 将连续统假设CH比作欧几里得第五公设有些牵强。没人提出把CH称作一条公理。不仅平行公设是不显明的，其他公设也都是些我们没有足够清晰的直觉予以核证的假设（它们合起来构成一个隐定义）。CH的独立性却并未伴随着对ZF公理的可接受性的怀疑。有了平行公设或其替代者的几何学，在一种意义上是完全的，无论是作为一阶理论还是二阶理论（补充以不同的集合论域）。因即使人们认为其他公设是显明的或必然的，也没有太多理由去寻找能判定平行公设的新公理。

• 平行公设及其否定都是“绝对几何”（由剩余的几何公理决定）的弱意义（在可翻译性或相对可解释性的意义上）扩张。这对CH同样为真，至少相对于ZF而言是如此。但无穷公理则产生一种更强意义的扩张，并且无穷公理与其否定之间在一种不对称性。一条无穷公理比它的否定更强、更富有成果。从知识论上说，几何学比集合论更直接地与物理世界相关。

• 承认空间是直观的一种纯形式，并不必然要求我们接受欧几里得几何的先天性。对于通过经验观察确定欧几里得几何真实性的尝试，可以给出两个回答。一个是庞加莱的“约定主义”。另一个是谈论一种必然满足欧氏几何的（局部的）“直观空间”。这第二种回答的确不能为经验所拒斥，只是很难给出一个令人信服的正面论证，证明我们确有这种精确直观，无论有或没有平行公设。

• 有人认为，正如物理对象对于组织我们的物理经验是自然且必要的，数学对象对于组织我们的数学经验也是自然且必要的。物理对象，而非仅仅感觉，被当下直接地给予我们，因为它们不只是感觉的组合，并且我们的思维无法创造在质上为新的要素。也许被给予的不是物理对象，而仅仅是不同于感觉的某种东西，它从一个对象的诸面向的多样性中产生出该对象的统一性。但这样人们就会倾向于认为这种东西是心灵的创造。

• 并非所有与料都需要与某种作用于我们的感觉器官的东西相联系。唯一可能的其他来源似乎要么是心灵，要么是一种更微妙形式的客观实在，后者或者不同于物理世界（比如一个柏拉图式的世界），或者是相同的世界但却以不同的方式（可能通过一种“抽象知觉”）作用于我们。

• 集合论公理强迫我们相信它们为真，甚至我们感到我们具有一种直觉，它不仅产生这些公理，还能产生这些公理的扩张的一个开序列。甚至假定所有这些可能的扩张会收敛，这很可能也是合理的。但说这些扩张最终会以某种意义产生一个唯一的模型，使得连续统假设在此模型中为真或为假，则似乎是一个较强的假定。

• 说数学对象客观存在，甚至在某种不确定的意义上我们能“感知”它们，则更是强上加强。如果这是真的，我们就有权使用谓词演算并得出结论，每个集合论陈述都是有意义的。就我们的知识而言，我们可能仍然存在识别一个陈述是否为真的问题。这或许正是人们可以采取如下做法的原因：相信这个强硬的观点，但同时不认为实用成功标准是完全多余的。

• 物理学的比较告诉我们，应该通过后果间接寻找证据。应用此标准，似乎不可避免地会令数学公理失掉其“绝对确定性”。因为成功有程度之分，而后果（尤其是低阶后果）则根本不能以唯一的方式决定公理。

• 集合迭代概念的核心问题是：（1）幂集运算（允许什么样的子集）；（2）序数（允许什么样的序数）。两者都涉及一种无法完全明确化的无限一般性。对子集形成原则和替换原则中的确定属性概念的一个解释，与对此一般性要素的近似有关。存在一些序数生成原则，它们不只依赖于迭代，还依赖于类比和反射。

• 一些人质疑在定义新的集合时使用无界量词（论域为所有集合）的合法性，尽管他们接受对集合论的迭代解释。他们指出，只有当我们将其与直觉主义谓词演算相结合时，我们才有理由使用ZF的全部公理。

• 如果所有集合的总体是一个未完成的总体，无界量词在替换公理和逻辑推演中的使用就存在问题。语句的逻辑概念与康托的概念十分不同，对语句生成原则和概念生成原则（算术生成原则）进行比较是一个问题。

• 如果我们采纳一种构造性进路，那么允许用无限制的量词来定义别的集合确实会有问题。但即使这个时候，接受排中律仍然是可能的。困难在于确立普遍的结论，因为我们无法考察所有允许的操作。

• 康托指出，从某种意义上说，我们可以把整数当作实在的，因为凭借定义，它们在我们的理解中占据着完全确定的位置，既很好地区别于我们思维的其他要素，又与后者处于确定的关系之中，并因此以一种确定的方式改变我们精神的实质；他建议称数的这种实在性为主体内的实在性或内在实在性。

• 数还可以就如下这点被赋予实在性：它们必须被看作对外在于我们理智的、世界中的实践和关系的一种表达或图像，不同的数类I、II、III等，都是实际出现在物理和精神自然中的基数的表征。我称这第二种实在性为整数的超主体的实在性或外在实在性。

• 康托使用复多作为一个初始概念，对应于现在使用的类。根据他的看法，有两种复多：绝对无穷或不一致的复多（现在说的真类）和被称为集合的一致复多。

• 康托明确地陈述了三条公理：C1（一一替换公理）两个等势的类要么都是集合，要么都是真类。C2（子集形成公理）集合的子类还是集合。C3（并集公理）对于任何一个集合的集合，该集合中所有集合的元素可形成一个集合；一个集合的集合的并，还是一个集合。

• 康托隐含地使用了，C4（外延公理）如果两个类A和B具有相同的元素，那么A=B；外延相同的两个集合相等。

• 康托隐含地使用了某种像幂集公理的东西。在定义基数的幂时，康托考虑了从一个集合a到一个集合b上的函数的总体，并明确说该总体是一个集合。他证明了直线连续统的基数是2^ℵ0。C5（幂集公理）每个集合a的所有子集构成一个集合。

• 康托绝不怀疑无穷集的存在。他明确断言，所有有穷基数的总体构成一个集合。C6（无穷公理）存在一个集合，它包含0，1，2，…。

• 康托没有考虑选择公理，但经常隐含地使用它。他“证明”了每个无穷集都包含一个基数为ℵ0的子集，但没有意识到这需要用到选择公理。

• 康托对如下形式的良序定理很感兴趣：(1)所有基数的总体可以良序化，或(2)所有无穷基数都是阿列夫（无限集合基数）。

• 现今被称为ZF的东西或ZF的二阶理论，似乎是对康托的集合概念的一个合理的汇编。这依赖于如下假设：我们以现在熟悉的方式用特定集合表示序数和基数，并以更明确的方式规定一一对应。

• 康托考虑了全体序数和全体无穷基数的良序类：(A)0，1，2，…，ω，…；(B)ℵ0，ℵ1，ℵ2，…，ℵω。A或B的每个成员都是一个集合，并且ℵα被等同于ωα（ℵ0=ω）。对无穷基数的幂和无穷集之幂集的基数的考虑，还提示了另一个良序类：(C)ℵ0，2^ℵ0，2^2^ℵ0，…（C0=ℵ0，Cα+1=2^Cα，Cλ=∪Cβ，其中λ是一个极限基数，β<λ）。

• 广义连续统假设实际上就是说，B中的每项恰好与C中相应的项等同。连续统假设则断言，2^ℵ0=ℵ1。

• 所有无穷基数都是阿列夫这件事（良序定理的一种形式）依赖于选择公理。因此，考虑到要赋予全体基数的类一个确定的形状需要用到良序定理（任何集合都可以被赋予一个良序关系）。

• 良基集合的概念和秩函数一起被引入，并被用来证明（全出现在米利曼诺夫的论文Ml中），每个良基集都有一个秩（迭代模型）。

• 论文Ml探讨的基本问题是：使得一个个体的集合存在的必要和充分条件是什么？在论文Ml中，每个类都与一个成员关系树相关联，该关系树从这个类走向它的所有成员，然后走向所有成员的成员，等等。关系树中的路径称为下降链，称一个类是良基的，如果其关系树中的所有下降链都是有穷的，关系树只会在不可分解的元素处停止，这些元素是所谓的基元。空集被视为一个基元，用e表示。关于不是自身元素的集合的悖论暗示了良基集的概念。全部良基集的类不是一个集合。这个方法揭示了罗素悖论和布拉里-福蒂悖论的一个共同特征。

• Ml中陈述了六条公理：P1子集形成公理。集合的每个子类还是集合。P2与全体序数的类On等势的类不是集合（根据Pl，任何包含与On等势的子类的类不是集合）。P3基元形成一个集合，它被当作给定的或已知的。P4幂集公理。对于每个良基集的集合a，存在一个集合由a的所有子集构成。P5并集公理。对于每个良基集的集合a，存在一个集合由a的所有成员的成员构成。P6一一替换公理。给定一个集合a，以及从a的成员到一些良基集的一个一一映射，存在一个这样的集合，其成员是a的所有成员在那个映射下的象（p.49）。

• 秩的概念被明确地引入：一个良基集的秩是比其成员之秩大的最小的序数。基元（特别是e）之秩为0。

• 定理1每个良基集都有一个秩。首先被注意到的是，一个集合有秩，只要它的成员都有秩。这由一个引理得证，该引理相当于说，每个序数的集合都有一个秩。由于按照康托的观念，序数不是集合，所以冯•诺依曼序数被引入以表征它们，然后应用P6得到该引理。假设一个良基集x没有确定的秩，那么至少存在x的一个成员x1也如此；x1至少有一个成员x2没有确定的秩，如此等等。考虑到整个序列停止于某个秩为0的基元，这是荒谬的。这一优美的证明隐含地使用了可数选择公理。

• 定理2对于每个α，所有秩为α的良基集的聚合构成一个集合。假如定理对所有α<π为真，则它对π也为真。考虑所有α<π为真，则它对π也为真。考虑所有α<π，令Σ为所有Rα的并。根据P6和P5，Σ是一个集合。但Rπ是Σ的子集的一个聚合，因此根据P4和P1也是一个集合。然而全体序数的类是良序的，使得定理2为假的序数的类，如果非空，必定有一个最小的数。

• 这两个定理一起产生如下结果：存在一个关系S(α,y)≡y=Rα，对于每个良基集x，∃α∃y (S(α,y)∧x∈y)。令H=^x(∃α)(S(α,y)∧x∈y)。

• 在Ml中得到的对基本问题的解如下：良基集（S的任意非空子集都有关于R的极小元）的一个聚合是集合，当且仅当其成员的秩有序数上界。

• 如果我们假定基础公理(所有集合都是良基的)，我们就可以将上述讨论中的良基性限定去掉，并得到集合宇宙等同于所有Rα之并的结论(V=H)，从而达到集合迭代概念。

• 一旦我们有了V=H，看起来合理的一个做法是加强康托的公理C1，使得它同时断言C1*：所有真类都与V等势。给定任何一个类，要么其所有成员的秩有界，该类是一个集合，要么其所有成员的秩无界，该类是一个真类C。假如我们用C的成员一秩一秩地去数V的成员，我们将不能在任何Rα处停下，因为那样我们就会得到真类C和作为R0，…，Rα之并的集合之间的一个一一对应。

• 要实现这个论证，我们必须假定集合宇宙V可良序化这样一个全局选择公理，因为局域选择公理没有明确给出每个月的良序。给定V=H，这似乎是对通常的局域选择公理的自然推广，根据局域选择公理，每个Rα可良序化。基础公理的一个尤为优美的表述是：如果一个类X的每个子集都属于X，则X=V。

• 在Ml中，1、2、3等序数由{e}{e,{e}},{e,{e},{e,{e}}}等来表示。得到它们的方法如下：令x为一个良序集，y是其所有前段的集合，包括前段e。将y中的这些前段替换为这些前段的前段的集合，并对如此引入的前段应用类似的变换，并继续以此类推。

• 一个不诉诸给定的良序集的定义也被给出了，On的定义如下：一个集合x表示一个序数，如果（1）x是一个基于基元e的良基集；⑵如果y和z是x的两个不同的元素，则y∈z或z∈y；（3）如果y∈x，则y⊆x（传递性）。

• 在数学活动中有模式表征（图解、图示，以及诸如数字、变元、模式字母、逻辑和数学常项等大量的符号）和思想实验之间的一种互动。我们感兴趣的是图式或图解，而非图像或画像，因为我们不关心它们的所有事实细节，只关心它们的骨架和结构，它们的“形式事实”，它们所揭示的形式和模式。

• 这并不意味着，我们总是需要在纸上或黑板上画出图解，也不意味着，数学就是符号操纵。区分数学的不是对图解的物理制造，而是在探寻所求之必然联系的过程中，使用图解协助我们进行思想实验的可能性。

• 一旦推理被给出了，推理的性质和逻辑“必须”的强制性，则是哲学家所关心的。我们接受一串符号，事实上是作为某个规则的一次应用。这里我们可以考虑关于真的约定论、先天综合论和自明论。但更根本的基础是这一社会学事实，即它被如此接受。这个社会学事实涉及多种不同因素，其中包括生物学和生理学因素，它们可能是最终决定因素。

• 审美需要和让事物系统化、整齐化的愿望，也会促进数学理论的发展和完善。数学对逻辑的可还原性论题就是这样的结果之一。正是沿着这一道路，人们被引向关于纯数学的这样一个定义：把数学定义为不含非逻辑常项的条件命题的类。

• 对于正确推理，传统逻辑更多地是一种阻碍，而非帮助。这可从如下事实看出：一种活动纯理性程度越高，越不需要传统逻辑。

• 数理逻辑在很大程度上遭受了同样的不幸。逻辑感兴趣的主要是将证明分析为尽可能多的不同步骤，而数学则关心能一下子产生深远后果或解开相关谜团的高效推理方法。

• 如果一台机器要做数学，就必须明确地吸收逻辑方法。这激励逻辑学家在判定问题和证明程序等方面做更多细致的工作。

• 关于各种程序的实际可行性的考虑被推到了最前沿。这对于我们的基本关注点，即数学证明应当是清晰的、可检查的或可理解的，是一个补充。为了强调程序可行和证明可检查这两个要求，我们也许可以创造一个新词:“实操主义”。

• 当有趣的数学问题可以通过机器解决时，我们的主要关注点就会转向证明方法及其编码问题。我们不想要长达10^6行的代码。我们不断进步，不断进行综合和简写，以便将越来越多的信息压缩进作为一台有界的有穷机器的大脑。不是单个证明需要10^6行代码，而是应当可以将我们所有的数学知识组织和包含在这么多行代码中。

• 证明会改变一个迄今尚未得证的数学命题的意义吗？新证明会改变一个数学定理的意义吗》答案是：有时会，但一般不会。问题的重点应该不是暗示数学概念的不稳定性，而是指出数学概念意义中的一种抽象的人类要素。

• 说一个未被理解的证明是一个证明，因为它尽管未被理解但却是可理解的，会带来这样一个问题，即区分原则上可理解和实际可理解。说每一个未被理解的证明最终，都会被理解，似乎太独断了。如果人们不想断定这么多，那么就很难无循环地为“可理解的”提供一种意义，根据这种意义，每个未被理解的证明都是可理解的。

• 在实际的数学活动和数理逻辑学家的讨论中，“可以”“可判定”等语词的意义是不一样的。有穷主义者和直觉主义者不担心此类问题，因为一个问题一旦是理论可判定的，他们对它就失去所有兴趣。但这并不意味着人们不能对作为一个有哲学价值的“可行性”概念感兴趣。

• 数学到逻辑的更耸人听闻的还原是如下论题：数学概念可以在逻辑学中得到定义，从而数学定理可以无条件地翻译为逻辑定理。只有当“逻辑”被宽泛地理解，从而将集合论也当作逻辑的一部分时，这才有可能是真的。

• 如果我们考虑的只是包含加法和乘法的数值公式，那么要找到自然对应它们的逻辑定理看起来是可能的。但如果我们也关心一般算术定律，那么就只有当我们使用集合论而非严格意义上的逻辑时，还原才可能。

• “7+5=12”所对应的逻辑定理是：(*)(E!7)(Gx)∧(E!5)(Hx)∧∀u¬(Gu∧Hu)⊃(E!12)(Gx∨Hx)。

• 我们回到了把算术还原为集合论的论题上，并面临一个明显的二选一问题：是说算术已被证明是分析的（弗雷格），还是说逻辑（集合论）已被证明是综合的（某个时期的罗素）？

• 算术到逻辑的上述还原的一个更根本的问题，是概念复杂度的相伴增长。我们能看出（*）是一个逻辑定理，原因仅仅在于，我们能看出一个相应的算术命题为真，而不是反过来。

• 如果被给定的只有集合论，与算术的关联性定义尚付阙如，那么我们就还没有完整意义上的算术，因为我们事实上将不能在集合论中进行算术证明和计算。

• 如果集合论和关联性定义被给定，那么我们像之前一样继续做算术，只不过同时意识到，我们的证明和计算在一种意义上可以翻译进集合论。但做算术仍然不同于做集合论。我们没有改变我们做算术的方式。在这个意义上，算术没有被还原为集合论，实际也不可能还原为集合论。

• 如果我们从关于自然数的真命题的角度思考，那么至少在如下意义上，集合论也可以还原为算术：给定任何一致的集合论形式系统，可以找到一种翻译，使得所有集合论定理变成真的算术命题。由于可以用算术表征形式系统，这对其他数学分支同样成立。

• 我们也可以说所有数学可还原为算术，但却是在一种与所谓“分析的算术化”截然不同的意义上。逻辑的算术化涉及一种话题转变，从谈论集合等转变为谈论我们如何谈论。

• 一种观点是，从算数到集合论的还原将数学置于一个更可靠的基础上。这种看法是不合理的。与集合论相比，我们对算术有更好的理解，正如信息丰富的算术一致性证明所表明的。算术的基础要比集合论的基础更可靠，毋宁说更有价值的是将集合论建基于算术或扩张到无穷序数的算术之上。

• 一种说法是，算术公理允许多种解释，而还原则消除了这样的歧义。集合的概念在归纳公理中涉及了，而集合概念的预期解释保证了算术公理的预期解释。但算术只预设归纳集，它们是特殊的一类集合。我们不应混淆不正确解释的可能性与正确解释的不可能性。既正确地解释算术公理，又不正确地解释集合论公理，这是可能的。解释集合论公理涉及更大的概念上的困难。

• 数学最令人印象深刻的特征是它的确定性、抽象性和精确性，它广阔的应用范围，以及它那纯净的美。精确性和确定性在很大程度上源于抽象性，后者也部分地解释了数学的广泛可应用性。但与物理世界的紧密联系是数学的一个本质特征，它将数学与纯粹的符号游戏区分开。

• 数学是由形如“p蕴涵q”的逻辑上有效的或必然的命题所构成的类。给定任意数学定理q，我们都可以将q的证明中所用到的公理的合取记为p，而“p蕴涵q”是初等逻辑的一个定理。在这种平凡的意义上，所有数学都可还原为初等逻辑。

• 就数学本身而言，这其实等于什么都没说，因为人们是想无条件地断定p和q。这种做法完全回避了如下问题：为什么某些p，例如数学归纳法原理，被接受为数学真理。有效性和必然性或可能性的概念需要用集合的概念或律则和倾向之类的概念来解释。

• 数学就是公理集合论。所有数学都可在一种明确的意义上由公理集合论导出。为了明确起见，我们可以统一使用通常被称作ZF的标准集合论系统。它对应着弗雷格和罗素从数学到逻辑的还原。它也是给逻辑实证主义者造成最深刻印象的东西，引发了对公理化和形式化的重视。

• 针对这一等同，有许多反对意见。这种观点没有解释，在集合论的所有可能的后承中，为什么我们只选择了那些恰好构成我们今日之数学的东西，以及为什么有些数学概念和结果比别的更有趣。它也不能帮助我们获得对数学的一种直观把握，后者为强大的数学家所拥有。通过掩埋自然数的个体特征，它试图用更模糊的东西解释更基本、更清晰的东西。

• 数学的集合论表征未做到充分忠实。它往往忽略数学较抽象的方面。群或域的公设可以被多种多样的模型满足。甚至古典分析的定理也可以在强度悬殊的不同公理系统中获得证明。这暗示可能有一个公理系统的网络，其中每个系统决定一个抽象结构，亦即系统的所有可能的模型所构成的类。某种像ZF或其尚未被设计出的一个优化扩张的东西，在如下意义上包含了所有这些系统：没有一个系统假设了任何它未设想到的对象的存在。

• 数学是对抽象结构的研究。这似乎是布尔巴基学派的观点。他们有意识地将数学与其应用相剥离，这并非完全合理。此观点的不足不仅在于它遗漏了许多组合色彩浓厚的重要结果，还在于它没有为结构的选择提供任何内在辩护，那些结构基于十分外在于该方法的理由被认为是重要的。数学结果的构造性内容没有得到彰显。还存在一种基本的矛盾：作为基础的公理集合论只得了口惠，严肃的基础研究并不真受欢迎。

• 数学是为了加快计算。这里的计算不只限于数值计算，代数运算和逻辑表达式的变换也包括在内。比之稍宽泛点的一种观点是：数学的每一严肃部分都必须具有某种算法内容。与之相关但不同的一种观点是：所有数学都是为了帮助科学，帮助我们理解和控制自然。这些观点无法解释一些现象，例如为什么我们通常偏爱更优雅、更具跳跃性的证明，为什么我们会从不可能性结果得到快乐。

• 数学与数理逻辑脱节的主要原因在于，逻辑总是更快地跳向更一般的情况。这暗含着对数学是一项人类活动这个事实的忽视，特别是对记法和符号系统的重要性的忽视，以及对数学与其应用之间的详细关系的忽视。一网打尽式地研究所有集合，这在哲学上很有吸引力，但在数学中，我们主要只对一小部分集合感兴趣。从一种更深刻的意义上说，更根本的不是集合的概念，而是已有的数学。

• 具体算术始于实际问题。对数列的无限可扩展性的理想化，以及从个别的数到关于所有数的普遍定理的转变，导致了数论的诞生。只是到了1888年左右，戴德金才通过分析数的概念得到了对所谓的皮亚诺公理的准确表述。

• 方程求解和使用字母之类的符号表示未知量，标志着代数（“换位和移除”）的开端。只是到了1591年，字母才被同样用于表示已知量（变元和参数）。

• 几何学处理空间形式和长度、体积之类的几何量。集合的数是对集合的某种不变特征的抽象，而几何图形或几何体是对现实物体的一种抽象，即纯然从其空间形式的角度看待一个物体，忘记它的其他属性。令这样一种抽象研究不仅导致了纯粹几何学，还产生了演绎方法和公理系统的第一个内容丰富的例子。

• 长度和体积测量是算术和几何的一种结合，即用单位计算出一个数。就像方程求解一样，这是导向分数和无理数的一种自然方式。对绝对准确或无限可改进的测量的渴望，导向了实数的普遍概念。代数则带来了负数和复数。但只有通过复数的几何表示，我们才能更好地理解复数。

• 在提升计算速度方面，在1614年对数的发明是一个巨大进步。

• 函数或相互依赖关系的一般概念是分析的主题。借助笛卡尔坐标，我们在代数和几何之间建立了一种联系，其中函数扮演着核心角色。从这个意义上说，解析几何可谓是最简单的分析分支。这里隐含地假定，我们至少处理所有实数。

• 如果我们再加上变化或运动的概念，研究更广泛的函数类，我们就会得到微积分。最初的源泉是几何和力学。微分方程和积分方程理论寻求函数而非数作为解。这样的理论得以发展，既自然地源于应用，也自然地源于微积分与方程求解的代数问题的内在结合。

• 泛函分析的诞生与从代数到分析的转变不无相似，人们的兴趣不再限于寻找个别函数，而是扩展到研究函数间的一般依赖关系。

• 为何复变函数最终证明是如此的优美和有用，这一点并不容易理解。但作为一种扩充，却能澄清原来领域的许多事实。如果我们要求域公理被满足，扩充复数就是不可能的，比如四元数的乘法不是可交换的。

• 概率论的蓬勃发展与统计力学有关，其基础是一个迷人但又令人难以捉摸的学科。

• 在代数中，伽罗瓦理论不仅为方程求解问题提供了一个决定性的处理方法，还开辟了一种更抽象的、关于抽象结构的研究，它探讨任意元素上的运算，而不只是数上的运算。

• 几何学中的最大变化是非欧几何的发现以及黎曼关于许多不同的“空间”及其几何学之可能性的一般想法。图形被推广为任意的点集。

• 实变函数研究的发展触及了形形色色的概念问题，如实数的定义和“度量”的意义。

• 逻辑学的发展、计算机器的出现以及生物学和语言学中新应用的前景，都倾向于强调所谓的“离散数学”，尽管连续数学的地位十分牢固且一如既往地充满活力。

• 假如有一群有充分代表性的人协作给出了一份包含二三十个当代核心问题的清单，我们就能以此问题清单为基础做下面这些事：（1）描绘数学的现状及其与其他科学的关系；（2）回顾历史；（3）预测未来趋势；（4）辨识出数学整体上的某种概念统一性；（5）讨论一些长期存在的认识论问题。

• 一份全面的一般问题清单将包括：（a）确定性和必然性（无论是否先天综合的）；（b）数学存在（以及构造方法）；（c）数学的驱动力（有用性，审美吸引力和为艺术而艺术，时尚及其成因，好奇心）；（d）数学活动（记法和缩写，启发方法，盲人数学家现象）；（e）数学证明的性质（形式化和直观证据）；（f）数学的阐述方式、教学和机械化（与获得新数学形成对比的交流问题，数学批评作为文学批评的一种类似物的可能性）；（g）纯数学与应用数学（判断经验情境之数学模型的价值的标准，与应用无关）；（h）数学作为一门“语言”。

• 数理逻辑中的一个问题是：一个更充分的集合论公理系统。这里的一个核心问题是精确刻画一个给定的集合的任意子集的概念，特别是正整数集的任意子集的概念，以及幂集运算可能的迭代层次的概念。我们似乎永远无法得到一个完全充分的形式系统。但可能得到一个自然的形式系统，使得连续统假设在其中是可判定的。还可能想出一些严密的方法来拓宽形式系统的概念，使得能充分刻画正整数集之幂集的“半形式的”系统也被允许。探求新公理的一个明确构想是大基数公理研究。人们对将这类公理与关于无穷博弈的决定性公理的各种限制形式联系起来也很感兴趣。

• 数理逻辑中的一个问题是：非直谓定义的一致性。这经常被表达为确立古典分析的一致性的问题。通常被接受的古典分析公理系统除了不够充分（没有提供足够多的实数）外，还因为允许由非直谓定义引入的集合而缺乏显明性。人们希望找到更清楚的理由，以便相信它们不会导致矛盾。

• 数理逻辑中的一个问题是：可解问题和不可解问题。关于算法的理论工作使得证明普遍不可能性结果成为可能。在群的字问题和希尔伯特第十问题（关于丢番图方程整数解的问题）上已经取得了这方面的成功。还有人试图解决群论中的伯恩赛德问题和关于三维拓扑流形的等价问题。在微分方程的求解和二次规划等问题上，也有可能得到有重大意义的不可解性结果。有两个人们期望得到肯定解的具体问题，其一是希尔伯特第十问题在符号串联方面的类似物，其二是哥德尔关于带等词的逻辑语句的例子。

• 数理逻辑中的一个问题是：数学证明的机械化。用计算机辅助数学研究的尝试似乎会带来全新类型的问题，例如判定程序的效率问题，对我们关于某一数学分支如数论的知识的重组问题（它强调要对数据严格分类）以及启发方法的形式化问题。

• 数理逻辑中的一个问题是：可行可判定性。人们对计算的复杂性很感兴趣。人们寻求一个自然而稳定的可行可计算性概念，据此有些问题如旅行推销员问题是不可判定的。关于计算复杂性的精确定义还应该能给出一个明确的意义，从这种意义上说，乘法要比加法更复杂。

• 关于构造主义属于“实在论”还是“唯心论”这个问题，人们有一些分歧。古典主义者可被视为实在论者，因为他们似乎更愿意设想抽象实体。然而毕薛普更喜欢称古典主义者为唯心论者，因为他们倾向于遗忘数学陈述的真实（关于数的）内容。另一个分歧点在于，古典分析和构造性分析哪一个更适合于物理学应用。

• 人们很容易接受这样的理由：知识即力量，或知识使人成为大自然的主人和统治者。根据这样的说法，数学的正当性源自其物理应用，包括现实的应用和潜在的应用，以及数学在科学思维中的规范作用。还有一种传统，它允许实践辩护超出功利理由的范围：知识作为人类理性的现实化，作为一种文化价值，作为艺术，等等。

• 必然命题基于事物的本性为真，是事物之本质的表达。分析命题基于自身的意义为真，当一命题是主谓形式时，如果谓词包含在主词的意义中，它就分析地为真。先天命题就是不必诉诸任何特定的经验事实就能够被认识的命题。必然性是一个形而上学概念，分析性是一个语言学概念，先天性是一个认识论概念。

• 先天和后天这两个术语出自经院哲学，它们源于亚里士多德的如下观念：A在本性或认识上先于B，如果没有A的话B就无法存在，或我们不认识A的话就不能认识B。现在对“先天”这个术语的用法（指不是源于经验的东西）来自康德，他还引入了分析判断和综合判断的区分。还有一个传统是，将先天命题与自明性相联系，将先天概念与天赋观念（我们与生俱来而无须习得的观念）相联系。

• 如果切换到外延性语言学框架的视角看，可以说一个句子的真值依赖于两个因素：起验证作用的事实和该句子和它所含的语词的意义。这二者之间的相互关系十分复杂：经验塑造我们的思想，思想反过来又影响我们的经验。

• 即使先天知识是相对的，它们在每一历史时期却是相对于一个无可逃避的事态，后者在很长的时间里保持相当程度的稳定。即使先天知识是可错的和可修正的，这种情况的发生却不是经常和随意的。

• 如果我们对比先天性和必然性，我们会发现必然性有一个优点：它对犯错何以可能具有一个内置的回答。因为必然性关涉实在，而我们不能完全确定我们对实在具有完美知识，所以我们所认为的必然命题未必真是必然的。

• 称纯逻辑命题在如下意义上是必然的似乎很自然：它们在所有可能世界中都为真。这里我们拥有一个相当明确而稳定的可能世界概念。

• 我们倾向于视数学命题为先天的。对数论命题来说，这似乎尤为正确，也许是基于布劳威尔所暗示的理由。自然数内在于我们从一事物到下一事物的基本思维方式；它们得自“我们的直觉的形式”。

• 关于连续统的几何直觉可以说是先天的，但由戴德金和其他人提出的、更为形式化的连续统理论，则体现了直觉和精确性要求之间的一种妥协。单位区间上连续二等分的任意无穷序列是可能的，关于这一点的几何直觉允许多种形式化的解释。

• 集合可被说成与康德的知性范畴有关，因为它们的作用是从复多中产生统一，由具体对象的属性抽象而来。它们代表着特殊综合的抽象形式。

• 逻辑和集合论以不同的方式为抽象数学结构提供基础。逻辑为隐定义（它是这样的约定：凡满足特定假设的结构就叫作域或群或别的东西）提供了框架，还为关于这些结构的定理提供了一种假设性的核证，使它们成为逻辑的假言定理。集合论为假设提供可能的抽象解释的范围。

• 几何学是一种混合物。一方面，我们的空间直觉是先天知识的一个主要来源。另一方面，这种直觉不够精确，无法在多种可供选择的几何学之间做出区分。非欧几何的发现催生了这样一种观点，它将几何学同化于经验科学。

• 以下做法似乎是可取的：保持几何与算术之间的类比，但同时承认，尽管我们相信几何学大致是先天的，在细节上我们却可能会犯错。从某种意义上说，广义相对论证伪了欧氏几何，因此当涉及极大或极小之物时，我们确实会犯错。

• 康德对于分析的定义只适用于在他看来属于知性领域的判断，而推理在他看来属于理性的领域。而且康德心中想的似乎都是词典定义或语言的规则，以至于分析命题只是一些平凡的孤立陈述，不对任何扩展的概念框架具有重要性。

• 在康德那里（狭义定义），对人类知识的重要性被认为是反对一个陈述为分析陈述的证据，而在广定义之下，有迹象显示，一个陈述在人类知识中越重要，它所拥有的分析性程度也越高。

• 先天性、必然性和分析性经常被认为是等外延的，而且我们有这么做的天然倾向。人们普遍同意分析命题是先天的，而先天性蕴涵着必然性。

• 分析性导向对意义和同义关系的强调。先天性意味着对经验和知识的诸概念进行考察。必然性与可能世界（或可能性）和本质（或事物的本性）的概念有着微妙的联系。

• 在科学实践中，确实存在一种相对主义。地质学家把物理学中的结果当作理所当然的，差不多视之为自明的或必然的或先天的。而物理学家则对数学有着类似的态度。对数学家来说意义不同的两个表达式，对物理学家来说可能意味着相同的东西。

• 有一个诱人的想法叫作整体论或实用整体论，它把我们的整个概念系统看作一个巨大的信念联合体，联合体中的信念共同地而非单独地面对经验的审判。根据这种观点，联合体中的信念以不同的相关度与经验相关，距离整个概念网络的中心或远或近。任何陈述都可以被修正，任何陈述都可以被调整为真。仅有的指导原则是一些实用性考量，包括保守性和对简单性的追求。

• 经验考量和概念考量之间存在着一种模糊的区分。概念的意义有一种深层的连续性，以至于人们也可以这样讲：相同概念的意义变得更清晰了，找到了涉及这些概念的旧命题的一些缺陷。正是这种双重性诱使我们在两种显然矛盾的立场间做出艰难的选择。

• 使用形式语言和意义假设来保障分析性，是避免那个艰难选择的自然之举。人们用这种方式能分别地组织旧概念和新概念，从而避免了把显然矛盾的概念统一起来这个疑难任务。但其缺点是，我们不仅忽略了新旧概念间的连续性，而且在将它们彼此孤立时，我们不能抓住那个隐藏于背后的、更丰富的概念，甚至也无法明确这两个概念中任何一个的完整内涵。

• 一个命题是理性真理，当且仅当在我们对此命题的主词和谓词做出这样的分解后，我们发现主词中的简单概念也都在谓词中。大多数情况下，为了看出一个命题是理性真理，我们不需要把谓词和主词分析为它们的最简单成分。甚至不需要知道最简单的概念究竟为何物，我们也可以对理性真理的范围有一个相当清晰的了解。

• 康德和莱布尼茨都谈到了同一性命题。有时他们似乎暗示所有分析命题或理性真理都是同一性命题。在其他时候，他们似乎又认为同一性命题的概念更窄些。莱布尼茨断言所有必然真理实际上都是同一性命题，但有时他又将同一性命题等同于原始理性真理，后者只与最简单的概念有关。

• 根据莱布尼茨的说法，这个独一的矛盾原理足以证明算术和全部几何，亦即所有的数学原则。这似乎要预设一个丰富的定义理论，远远超出了莱布尼茨实际所发展的。很难找到普通的定义来核证关于类成员关系的常用公理，甚至对于正整数上的加法也是如此，尤其是如果逻辑仅指亚里士多德逻辑的话。

• 弗雷格声称已将算术还原为逻辑，并确立了算术命题的分析性。他认为这样便驳倒了康德，后者认为算术命题是先天综合的。弗雷格和康德对分析性的理解不同，因为他们所认为的逻辑不一样。

• 相比于莱布尼茨的“理性真理”和休谟的“观念间的关系”，康德分析性概念的应用范围较窄。所有必然命题，特别是算术和几何的必然命题，对休谟而言都只与观念间的关系有关，根据莱布尼茨的看法，它们仅由矛盾原理就可证明。而算术和几何命题对康德来说是综合的，康德的分析-综合区分更接近于洛克对平凡乏味和富有教益的区分。

• 根据康德的观点，在所有分析判断中，主词对谓词的关系被想成是这样一种关系：谓词B属于主词A，就像是包含在概念A中的某物似的；而一个分析判断之为真，总能由矛盾原理被充分认识到，该原理断定，没有与一物矛盾的谓词可以属于此物。

• 弗雷格认为，分析命题是由定义根据逻辑得到的。定义一个概念，正如这个词本身所暗示的，不过是意味着给出在该概念界限之内的那个完整的原始概念。因此一个经验的概念就根本无法被定义，而只能够被明确。先天给定的概念，如实体、原因、权利和平等等，严格说来都是无法被定义的。因此数学是唯一一门包含定义的科学。

• 康德认为，所有数学判断都是综合的，除了几何学家所预设的少数基本命题是分析的，它们是基于矛盾原理。但是作为同一性命题，它们只是作为方法链条中的连接环节而不是原理发挥作用。

• 关于逻辑推导和证明，康德的观点大致是，我们无法从定义或其他分析判断推导出分析判断。这与今天的分析性概念形成鲜明对比。根据康德的看法，每个三段论都是从一条原理导出知识的方式。三段论的大前提是全称命题，可称作原理。

• 康德的另一个隐蔽的区分涉及现象学成分，即主词中“实际被想到”的东西。当定义或十分完全的分析存在时，分析与综合的区分是一个逻辑区分。但由于康德只承认数学中有严格的定义，而数学命题又是综合的，从这个逻辑区分得到分析命题的可能性就很小。当定义或充分的分析不存在时，就要诉诸实际被想到的东西。

• 弗雷格试图准确阐明前人尤其是康德的分析-综合区分的含义。他认为，区别不在于判断的内容，而在于做出判断的理由；判定一真命题是分析的还是综合的，可归结为这样一个问题：找到该命题的一个证明，顺着它回溯至初始真理。根据弗雷格的看法，如果在这个过程中，我们只用到普遍的逻辑法则和定义，那么该命题就是一个分析真理。

• 我们现在知道，弗雷格绕道逻辑（集合论）的迂回策略并无太大帮助，因为比之于论证算术的分析性，论证集合论的分析性并不更容易。

• 考虑以下两个问题：（a）算术命题是否是先天综合的？（b）几何学命题是否是先天综合的？康德对这两个问题的回答都是肯定的，而很多当代经验主义者对它们二者的回答都是否定的。弗雷格对（a）的回答是否定的，对（b）的回答是肯定的，而布劳威尔对（a）的回答是肯定的，对（b）的回答是否定的。

• 许多因素合在一起，促成了从弗雷格的分析性概念向现代分析性观念的转变，根据后者，不仅所有数学真理是分析的，甚至经验科学的基础也可以通过相对分析性概念方便地进行研究。

• 经常与此现代观点相联系的还有这样一种想法：分析真理基于约定为真。其中一个因素是庞加莱的约定论，主张将欧氏几何继续保留在广义物理理论中，无论后者究竟是什么。

• 另一个因素是纯几何与物理几何的分离。爱因斯坦指出，就其表示实在而言，数学法则不是确定的；就其是确定的而言，数学法则不表示实在。

• 还有两个影响因素，一是希尔伯特对隐定义的强调，二是怀特海和罗素对基本数学的逻辑主义建构。前者暗示了对理论的假言主义进路以及语法考量对语义考量的主导性。后者使罗素期望更广泛地使用逻辑工具，并使卡尔纳普着手建造建构性系统，作为重建甚至统一科学的手段。

• 维特根斯坦的《逻辑哲学论》包含了一个对真值函项重言式的很吸引人的说明，即它们是基于命题联结词的意义而为真。这与数学可还原为逻辑的糊涂信念结合在一起，使维特根斯坦得出了如下结论：所有真数学命题都在类似的意义上是重言式。

• 卡尔纳普认为，所有先天命题都是分析的，没有“先天综合判断”这种东西。当一个分析定理被转换为一个关于基本关系的陈述，一个重言式就产生了。

• 科学的目的在于探寻和整理关于认知对象的真陈述。第一个目标是对象的建构；第二个目标是研究对象的非构成性性质和关系。第一个目标是通过约定达到的；第二个目标则是通过经验。

• 当代经验主义可定义为这样的学说：不存在先天综合真理。这里的一个假定似乎是，对于排除那些倾向于承认某种形式的理智直观或思辨体系（它们为哲学专有并会与科学假设形成对抗）的理论，拒斥先天综合真理是必要的。有时人们甚至断言，除历史记录和事实例示外，所有真实的哲学命题都是分析的。

• 分析-综合之分的目的之一，大概是为我们提供一幅清晰的知识图景。有许多有趣的事情，我们不能对一般的知识说，但可以分别对以分析语句表达的知识和以综合语句表达的知识说。就这一点是真的而言，分析-综合之分是有用且重要的。

• 如果大多数真陈述句既不是分析的，也不是综合的，或者无法被判定究竟是分析的还是综合的，那么这个区分的意义就会大大降低。但只要我们承认，分析语句（逻辑和数学语句，基于语词定义显然为真的语句）有一个基本的内核，综合语句也有一个基本的内核，那么仅仅存在一些边界情形，就还不足以破坏我们用这个区分述说的许多有趣事物的价值。

• 哥德尔区分了分析性的两种意义：（1）主观意义，即基于人类的定义为真；（2）客观意义，即基于作为客观存在之实体的概念为真。他认为，逻辑和数学在客观意义而非主观意义上是分析的。

• 由于分析-综合、必然-偶然及先天-后天这三个区分之间的关系错综复杂，并且它们时常被等同为一，或至少被看作是等外延的，为了讨论总结这三个区分的一种模糊的二分法，把陈述更一般地分为A型和B型是方便的。

• 对于每个给定的划界方式，我们都有至少两个不同的问题。第一个问题是给出一个A型命题的清单，或提供编纂这样一个清单的一般方法。第二个问题是论证这个清单或编纂它的方法是正确的。

• 普通词典可用于协助A型命题的筛选。然而随着需求出现，我们会越过词典和日常用法，让专业领域大大精确化。

• 定义中不存在一成不变的优先性顺序。为了确定一个词的意义，我们常常需要进入越来越广阔的语境，并且不局限于逐字解释。

• 一个问题是如何判定一个句子是否属于A类型，其标准为何。经常被提出来的是行为主义的标准，比如承诺度，或面对反面证据时放弃一个句子的意愿度，或对确定性的感觉。其中任何一个都可用来为真语句生成一个偏序，所依据的是A型特性在句子中出现的量。

• 这样的进路不可能是正确的。没有任何简单的行为主义标准是充分的。只要有相当程度的共识，我们不必太担心能不能给出一个判别A型句子的明确标准。

• 我们之所以不能判定一个给定的真句子是属于A型还是B型，通常是因为我们无法看出称其为前者还是后者有什么差别。我们面对的是一个伪问题，因为我们既没有迫切的需要，也没有一个无可非议的标准，来对该问题的答案进行裁决。对一个模糊事态的模糊描绘，仍然可以是忠实的。准确性和精确性并不经常相伴而行。误置的精确性有可能是最不准确和最有误导性的。

• 为了对某句子属于A型进行辩护，约定论的回答也许是最诱人的：我们不过是决定这样来使用语词。如果我们过于古板地处理这个问题，我们很容易会陷入某种循环或无穷倒退。

• 肯定前件式规则（1.p→q；2.p；3.q）在A型真理域中占有十分特殊的位置。数字等式（其正确性和推导依赖于逻辑规则，尤其是肯定前件式）也构成了一个非常基本的类别。

• 在实践中，我们似乎无法从约定论那里得到太多启发。约定可能涉及明确的协议或先例。约定涉及公共知识和关于它是公共知识的知识。

• 约定可通过多种方式被习得。一个以某一门语言为母语的人是该语言之约定的直接参与者。他对相关约定的知识可能只是潜在的知识或默会知识，并且他可能能够在特殊情况下应用约定，但却未形成一个普遍的信念。

• 根据定义，约定是允许有不同的替代选项的。正是在这个意义上，也只有在这个意义上，约定具有任意性。同样是在这个意义上，决定接受一个公理并不必然意味着一个约定。

• 明确的协议不是唯一可能的约定来源。如果协议指的是明言的协议，那么我们不仅不是通过协议创建所有约定，而且也不能通过协议创建所有约定。人们也许还可以设想一种无穷倒退，并指出，即使有一些语言约定可以由明言的协议引入，但并非所有的语言约定都可以这样。还有一种倾向是认为，根据定义，语言约定就是由明言的协议创造的。也许协议是一个比约定更宽泛的概念。

• 研究计算机的新用途，其最终目的必须在广义上是实用的。有一个类似守恒律的定律。立时可用的应用，尽管在经济上有利可图，在智力上却缺乏挑战性，而那些更令人兴奋的问题，往往也更困难，这几乎可以说是根据定义为真。

• 计算机作为“思维机器”的一种模型是很有用的，因为我们可以用硬件模型或其上的程序模拟来做实验，它们可以执行一些心智活动。我们的目标不是要复制大脑，我们可以尝试改进已有计算机的结构和功能，使其执行越来越复杂的任务。

• 具体数学理论和结果对计算机发展的影响十分有限。我们能提到的可能只有两件非常基本的事情：用于电路设计的布尔代数和二进制记数法。关于理想化计算机的抽象理论，几乎没有实践上的影响。

• 抽象理论对计算机使用者有很大的教育价值。编程都是十分典型的数学活动，因为它涉及大量以符号和数字进行的“思想实验”。某种数学精神对于计算机的使用至关重要。随着当前重点从硬件转向软件,人们可以预期数学的影响会增加。

• 关于计算机的数学研究的一些方向是：（1）寻找关于计算机和程序的更实际的理想化模型；（2）将计算机程序与更标准的逻辑和数学公式相关联，以便帮助简化和调试程序；（3）为证明乘法一般地比加法复杂建立一个自然的框架；（4）给出能行方法的适当概念并证明旅行推销员问题（给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路）不可解；（5）建立一个关于模式识别的数学理论。

• 形式化或使模糊程序变精确，对于拓广计算机的应用范围具有实际价值。这也许是逻辑与计算机之间的最基本的联系。正是在这个方向上，长远看有可能实现大规模的数学革命。随着越来越多的数学证明被机械化，人对数学活动的贡献将不得不少一些程式化的方面，而多一些富有想象力和创造性的内容。

• 逻辑作为对数学的一种形式的和系统化的处理，其成就有它的局限性。我们需要的不是数学教材原则上的形式化，而是数学活动实践上的形式化。目标是要丰富逻辑或数学，使计算机可以辅助纯数学家，至少与它们辅助应用科学家一样多。

• 这需要彼此相关的两个方面的机械化：形式化已发现的证明；抽象出一般的方法，为寻找新定理的证明提供指导。似乎有必要发展一种“逻辑数学”，较之于“数学语言学”与机器翻译之间的关系，这样一门学科与自动化证明之间的关系要紧密得多。它甚至可能是一条最有前景的途径，将带动“人工智能”之潜力和局限性研究的全面进步。

• 形式化对计算机的所有应用都很重要。计算机的存在依赖于一个基本的事实，即我们有进行数值计算的精确规则。借助类比论证，我们或许可以认为，计算机在心智活动方面的深刻应用将首先在数学证明机械化领域实现。

• 数学推理是机械的这个论题有多重蕴意。它不只意味着数学证明可以形式化；它要求证明方法的机械化，而不只是将给定的非形式证明形式化为一种可机檄地检查的形式。

• 这个论题的一个歧义之处，在于如下两种解释间的差别：一是仅仅要求能以某种方式机械地做数学，二是要求机械化我们做数学的实际过程，后者更强一些。根据第二种解释，这个论题会要求我们将以下这些过程机械化：个体数学家如何寻找证明，数学是怎样被教授的，数学共同体如何就是否接受某些结果为真这个问题达成共识。

• 如果人们的兴趣是确定这个论题是否能以一种可想象的方式为真，采取第二种解释是有优势的。但如果人们只是想用计算机做尽可能多的数学，那么合理的做法就是不要为忠实于人类实际如何做数学而操心。这里我们得到了人工智能与仿真做对比的一个例子。

• 在形式化方面，现代逻辑有两个主要的成就。第一是彻底确立了如下结论：全部数学都可以还原为公理集合论；可以在该系统中完全形式化地（在机械可检验的意义上）再现数学证明。

• 第二是司寇伦和艾尔布朗的结果，根据这些结果，通过把数学定理理解为谓词演算中的假言定理（相关公理蕴涵该定理），我们原则上能够以机械的方式搜索每一个数学证明，以确定一个相关的艾尔布朗展开（目的是将一阶逻辑公式转换为命题逻辑公式的无限集合，从而可以利用命题逻辑的方法来处理一阶逻辑问题）是否包含矛盾。

• 有一种在算法式方法和启发式方法之间做出的错误对比。每个程序都要包含某种算法，而对于重要的发展，不完全策略或启发式方法是必不可少的。因此没有重要的程序能避免这两者中的任何一个。也许更显著的是拟人化方法与逻辑方法之间的对比，前者以普遍问题解决者为特征，后者则是艾尔布朗定理的精致化。这种两极分化在王浩看来是不可取的，它体现了他所谓的还原论综合征。

• 王浩认为，应该对与料，亦即已有的数学证明和证明方法，进行更多的反思性考察。已有数学包含了丰富的材料，构成了我们对数学推理之理解的主要源泉。合理的做法是从这一宝库中提炼一切可机械化的东西。我们应当力求还原与反思间的互动，姑且可称之为辩证法。

• 反思主义者更严肃地对待已有人类知识所提供的材料，并且常常不能给出一概而论的答案。在其极端形式中，我们会到达现象学，它是严肃的哲学，但与技术进步几乎没有直接关系。

• 在自动化证明领域将还原（综合）和反思（分析）方法协同起来是十分可取的。人们对艾尔布朗定理（一个没有自由变量的无量词一阶公式是不可满足的，当且仅当它的某个有限的艾尔布朗展开是不可满足的）的沉溺，在王浩看来反映出了一种还原主义倾向，应该用对与料（已有数学）的更多反思加以调和。

• 数学活动有一个显著的特征：人们能够同时在多个层次上工作。不必在某个层次结构的较低层次上达到完美境地，人们就可以在更高的层次上活动。而我们很难想象机器也能做到这些。因此人们通常更易于适应如下做法，即充分利用机器当前具备的能力作为一种辅助。

• 庞加莱比较了魏尔斯特拉斯和黎曼。黎曼是典型直观的，而魏尔斯特拉斯是典型逻辑的。一个自然的想法是认为，机械地获得魏尔斯特拉斯的结果要更容易些。

• 数学活动的一个有趣的方面是专家们在相互交流证明时所表现出的那种高效简明。它预设了一个模糊但有用的区分，即新证明和程式化证明之间的区分。

• 在记忆一个证明时，优秀的数学家往往只保留最简单的轮廓，需要的时候，它足以唤起整个证明链条上的所有细节。这表明数学家头脑中有一种十分灵活的结构，它几乎从不在书面作品中出现，但有时可以以一种高度非形式的方式被传授。

• 我们无法拥有任意小或任意快的计算机组件（比如开关）。物理学应该能计算出这些量的下限或上限。这种类型的局限不会以任何不可避免的方式影响无穷数学过程的意义。

• 信号干扰及绝对可靠的组件不存在这些问题，在一定程度上可以通过冗余法来解决。冯·诺依曼断言，如果基本元件出错的概率不高于ε=0.005，那么我们可以通过多数符合组件（置信度△=0.07为佳）任意地改进机器的可靠性。

• 我们希望区分两类问题：一方面是关于计算的速度、可靠性、规模和长度的物理局限的科学问题；另一方面是关于任意长的计算的认识论问题。

• 认识论问题本质上只是一个问题，即如下这个显然的事实：不可能有物理机器来执行任意长的计算，不管是要求完全不出错，还是只要求出错的概率不高。

• 不存在一台机器M可处理所有长度n，但对于每个长度n都存在一台机器M能处理它，这在逻辑上是可能的。两者在物理上都是不可能的。

• 存在某个大整数N，我们永远无法以合理的精度做长度为N的计算。一个较弱的假设是：（*）没有物理机器能正确完成任意长度的计算。

• 断言不存在能计算π的值程序，不仅需要援引假设（*），还需要使用如下约定：（#）一个数学程序的存在只能由一个物理地可构造的机器的存在来确立，该机器可将这个程序执行到任意远的步骤。

• 与单纯的游戏相比，数学的一个显著特征是其应用。无穷数学以令人惊叹的方式被用于自然现象的研究，这是一个不可否认的事实。

• 与完全消除无穷的做法相比，有一些没那么极端的做法。一些数学家想要消去高等无穷（实无穷）而代之以简单无穷（潜无穷），或利用后者来证成前者。因此我们有了直觉主义和有穷主义，以及用递归函数或可构造集重建古典分析的种种尝试。

• 数学活动是一个自然现象，像所有机械活动和心智活动一样，它是有穷的。这一不可否认的事实本身并不能排除无穷数学。它排除了那些过于复杂而无法被人理解的证明。

• 只有当相关数学共同体接受了一个定理，并且有人理解了它的证明，这个定理才能说是得到了确立。实际执行，即被某个人类心灵实际地理解（一种心智活动），对数学来说很重要。

• 数理逻辑与自动计算机之间常听人说起的联系有两点，一是可以用序列布尔函数表示计算机的基本构成单元，二是编程语言和逻辑符号系统很相似。因此无论是对于计算机的制造，还是对于计算机的使用，适当了解逻辑都是必不可少的。

• 逻辑和计算机之间的一个更基本的联系也许是对算法的共同兴趣。逻辑学家们不仅对算法进行了十分成功的抽象研究，还澄清了机器与算法之间的关系，后者主要是通过图灵的理想机器理论实现。

• 逻辑学家对形式化的关注是逻辑和计算机密切联系的最深层根源。数学证明形式化的追求经过了漫长的演化，最终导致机械化成为判断是否完全成功的终极标准。希尔伯特等人研究元数学：证明理论和形式系统理论。

• 正是对证明论的关注，首先引导艾尔布朗将计算过程抽象地定义为一种特别简单的证明类型。给出一个一般的算法定义，对这个问题的惊人简单的解决，无疑是关于计算的抽象研究迅速发展的一个重要原因。

• 逻辑是数学和哲学的混血儿；而实际计算机的诞生则是一件工程学伟绩。这一起源上的分歧带来了严重的科学难题。

• 科学方面的问题在于，大多数有雄心的人都觉得枯燥琐碎的工程学和无聊的智力训练一样令人厌恶。此问题的源头可以往回追溯很远。应用数学的每个分支都有一个内在的困境：每一项成果都是要么没有充分的应用，要么不够数学。

• 如果不考虑速度和潜无穷长纸带的问题，图灵机和实际计算机等价。图灵机还有其他一些配置形式，它们更接近于实际的计算机，例如用包含少量基本指令的程序表示的图灵机。

• 既然图灵机上存在不可解的问题，在实际计算机上，相应问题也是不可解的。擦除功能理论上对图灵机并非不可或缺。因此磁带（相比于纸带）在理论上不是制造计算机所必需的。

• 逻辑学家们熟知的一点是，所有数学理论都可以在初等逻辑的框架内进行表述。因此如果我们能一般地判定一个陈述是不是一个逻辑定理，我们就一样能判定一个陈述是否在某个给定的数学理论中可证。这一事实解释了为何希尔伯特学派将判定问题，即判定一个逻辑陈述是不是定理的问题，视作逻辑学的主要问题。

• 波斯特提出的一个问题仍未被解决。考虑所有由0和1构成的有穷字符串。如果一个串以0开头，就删掉其开头的三个字符并在其末尾处添加上00；如果它以1开头，就删掉其开头的三个字符并在其末尾处添加上1101；如果字符串包含的字符少于三个，就停下来。我们有没有一个一般的方法来判定，对于任意的两个字符串，其中第二个是否可由第一个通过上述规则得到？

• 如果将可解性等同于乘积系统或其他某种等价方法（比如图灵机）下的可解性，波斯特的方法就可用来建立一些否定性结果。图灵就提出并论证了这样一个等同，并应用关于图灵机的结果证明了判定问题不可解。

• 在其他数学分支中的一个应用是诺维科夫关于群的字问题不可解的证明，这个结果被马尔科夫用来证明四维同胚问题是不可解的。三维同胚问题仍然是一个开放问题。

• 马蒂埃西维奇证明了希尔伯特第十问题不可解：不存在判定整系数多项式方程有无整数解的普遍方法。因此对于有加法和乘法但无量词的数论，不存在判定程序。

• 不可解问题的一个形式上简单的例子是如下字问题。考虑由a、b、c、d、e五个符号构成的符号串和以下七条互换规则：ac↔ca，ad↔da，bc↔cb，bd↔db，adac↔abace，eca↔ae，edb↔be。判定任意两个字是否根据这些规则是等价的，这是一个不可解的问题。如果我们把第五条规则中的e换成c，则所得系统的字问题是可解的。

• 不可解结果属于理论方面，而个别数学证明的形式化或从逻辑推导数学，则属于实践方面。在后一方面，逻辑与计算机的互动在一个更具体的层面上意义重大：逻辑学的发展与实际计算机的强大能力结合在一起，给我们带来了数学证明机械化的希望，这不只是在原则上，而且是在实践上。

• 对机械化的兴趣意味着形式逻辑的重新定位，它要更追求效率。对公理和初始概念节俭性的要求需补充以对大量概念和规则的准确阐述，这些概念和规则构成普通数学家的工具库。

• 假设我们想证明：（*）x>1→∃y(Py∧(y|x))，即每个大于1的整数都有一个素除数。假设已经给定了一个有组织的信息库SF，其中首先列出的是+、·、<的性质，然后是P和|的性质。

• 基本的证明策略是假设该定理为假，进而尝试从最小的反例导出一个矛盾，这体现了数学归纳法原理的一个机械上方便的形式。所设想的最小反例构成一个“不明确的常项”，它不仅具有所有整数都有的普遍性质，还具有源于“它是一个反例”这个假设的特别的性质。在像（*）这样的简单情况下，援引SF中的信息并使用一些简单的真值函项演绎后，我们很快能得到一个具有矛盾性质的不明确的常项。

• 为了证明（*）,我们首先假设它为假，并令m为其最小反例：（1）m>1；（2）Pb→b∤m；（3）1

• 我们用m替换上面的a和b：（4）Pm→m∤m；（3）1

• 查阅SF找到P的定义性质并应用到m上：Pm↔∃x(1

• 用xm替换目前已得的一般陈述即（2）和（3）中的自由变项：（9）Pxm→xm∤m；（3）1

• 从（1）、（2）、（3）、（6-10）推导真值函项后承（先不使用SF）：（11）¬Pxm，根据（8）和（9）；（12）Pyxm，根据（7）和（10）；（13）yxm|xm，根据（7）和（10）。

• 现在利用SF中的信息(a|b)∧(b|c)→(a|c)：yxm|m，根据（8）和（13）。用不明确常项先替换（2）和（3）中的自由变项：（15）Pyxm→yxm∤m；（16）1

• 在实际编写一个机器程序之前，需要更准确地规定这个方法。但上述提纲表明，在现有机器上可以写出相当自然的程序来证明像（*）这样的定理。

• 生物学家们普遍接受的一个信念是，所有生命形式最终都可以由支配无生命物质的自然法则来解释。这一信念被称为机械论或唯物主义。根据这种观点，生命科学的终极目的是通过物理学的原理来说明生命（和心灵）的起源和性质。心理学可还原为生理学（大脑的机制），生理学（和生物学）可还原为化学和物理学（生命的机制），化学可还原为物理学。生命（和心灵）现象的复杂性来源于其所涉大量对象的复杂组织，而非支配基本对象的基本法则本身的复杂性。

• 此论的一个工作假设是，无论物理学的基础存在哪些不确定性，以及这些不确定性将被怎样解决，它们都不会对作为上层建筑的生物学和心理学有严重影响。在很长一段时间内，生物学中的结果都将是充分稳定的，不受基本粒子理论变化的影响，这一点似乎是确定的。然而并非同样清楚的是，基础物理学中未解难题的解决也不会影响用物理学完备地解释生命的终极计划。

• 物理法则通常对初始的边界条件不做规定，而一个新物种的首个个体的出现则需要具体的边界条件，后者要求历史的说明。可以设想，有朝一日我们会在物理和化学方面很好地理解一种动物A是如何运作的，但同时对特定物种的首个个体是如何产生的，却没有令人满意的说明。这样我们会感到，我们对动物A这一生命现象还没有达成一个完备的机械论说明。

• 个体的历史起源和个体的合法则的活动之间的区分，不必拘泥于机器是由一个行动者（人）出于特殊目的而创造的这一观念。对于机械论的大多数信奉者而言，机械论观点不蕴涵生命是由某种更高的行动者出于某些目的而创造的这种看法。尽管可以说机械论是在断言人是机器，但它显然并不涉及机器概念中的另一因素，即机器系由人造的。

• 演化史上的许多结果都是通过自然界中原子和亚原子层面之互动的广泛试验得到的。如是观之，当被视作物理系统时，生命在我们看来是如此的复杂，就殊不足怪了。通过指出这一丰富的复杂性来源，机械论或还原论也变得更难拒斥。

• 如下这类观点对人有天然的吸引力：整体大于部分之和；变化是基本的，普通科学方法通过解剖和抽象扭曲了它。也许生物学之于物理学会如同量子力学之于经典力学那样？或者生命和心灵扮演如此重要的角色，以至于物理现象成为生命现象的一部分？

• 逻辑学家们对自己拥有一个关于机械程序概念的精确阐释感到自豪，这个阐释是借助递归函数或图灵机实现的。这一与计算机研究相关的机械概念自然而然也给出了一个关于机械论的概念。这种数学意义上的机械论提出了不同的要求，造成如下后果：一方面，它引入了无穷问题，使原来的问题变得更混乱；另一方面，即使是今天的物理学理论也有可能不是机械的，如果所谓机械是指可观察物相对于初始边界条件是递归的。

• 人是不是机器与机器能不能思考是不同的问题。可以设想有一种能思考的机器，甚至它在其他方面的行为也像人一样，但在结构上却不同于人。而如果目标是证明人不是机器，那么只需证明机器无法思考或证明机器无法证明像人一样多的算术定理就够了。

• 说机器没有生命所以不能有意识，这只是在逃避问题，因为对于生命，我们也面临类似的问题。另一个论证是说，机器的行为在原则上是可预测的，因此它没有自由意志，所以机器不能具有意识。这两个推理都是有问题的。“有自由意志”“不可预测”和“有意识”这三个属性是否相互蕴涵，这一点并不清楚。

• 一个论证断言，行为主义将人等同于有穷自动机。但没有有穷自动机能对任意整数做乘法，而人却可以，或具有做这件事的程序，所以行为主义必定是错的。这一反驳看起来过于简单。图灵机可以做乘法，而有穷自动机与图灵机之间的区别在概念上是不易察觉的。独立于这些理想化机器发展出来的行为主义概念，竟然明确到如此地步，以至于承认对心灵的有穷自动机解释，但却排斥对心灵的图灵机解释，这看起来十分不可信。

• 另一个论证说，即便人是有穷自动机，行为主义也是不恰当的，因为仅仅通过考察输入和输出，我们无法准确确定其内部状态或预测其未来反应。此论证依赖于一个假设，即我们不知道该有穷自动机有多大。但我们可以争辩说，我们能给出其尺寸的一个上界，这样一来原论证就失效了。

• 在计算机背后的设计原理和大脑的一些粗糙的解剖学特征之间存在一些模糊的相似性；计算机现有的一些非传统应用被描述为智能行为的典范。这些被当作有力的论据，用以证明所有智能都是复杂开关网络之符号-操纵能力的自然结果。对于机械论这一强结论，上述论证有些草率。

• 沿上述路线进行的某种常见形式的论证，或者是循环的，或者使用了模糊的类比。这里涉及两个基本的观察。（1）大脑在一定程度上与计算机相似。（2）大脑的输入和输出之间的任何确定的因果关系，原则上都可以由类似计算机的开关网络来实现。

• 借助（1）,人们不知怎地就得出结论说，（3）大脑的活动总是表现确定的因果关系。因此结合（2）和（3）,人们就得到如下强结论：（4）大脑是一种计算机。即使抛开（1）,人们也有可能倾向于彻底接受（2）和（3）。计算机只能以确定的因果方式活动这个前提是完全合理的，但在使用它从（1）推得（3）时，人们似乎进行了一种跳跃。

• 现有数字计算机与大脑的粗略比较，已经显示出二者之间有许多明显的差异，这些差异的相对重要性仍不得而知。神经元在数量上要比计算机的功能单元多；神经元更小，更慢，耗能更少。大脑的活动在很多方面都不那么界限分明。神经冲动并不是纯电子的，而是有几个方面：电子的、化学的和机械的。大脑混合了数字运算（神经冲动）和模拟运算（化学分泌、肌肉收缩）。大脑更广泛地混合了串行运算和并行运算；大部分神经元是经常同时活跃的。大脑使用神经冲动的统计学性质（阈值、频率和相关系数等）；大脑中的连接不那么精确和有条理，至少从局部上看显得相当随意。这些并行和不精确的特征，或可说明大脑对个体神经元出错的容忍能力，使大脑在低精度的同时实现高可靠性。记忆在神经系统中的位置、容量和物理化身问题，很难确定。疲劳和从疲劳中恢复的现象，在计算机那里没有合理的对应物。

• 在心理学层面，人一般通过例子来学习，而计算机则只能按完整、详尽的指令行事。无论是提取数据（经验），还是提取借以从数据得到那种普遍化的机制（学习过程），抑或是用计算机术语表达所得到的那种普遍化，都是很困难的。这一事实经常被当作一个典型的例子，用来说明计算机无法处理对心灵至关重要的“默会知识”。

• 如果大脑确实是一台机器，那么原则上可由一台计算机来模拟它，因为现有计算机在一种理论的意义上是通用机器。这是一个空洞的论证。这个论证的前提与物理机械论的涵义并不完全相同：它说的是，如果大脑是一台数字计算机（图灵机、递归机器），这个论证只是同义反复。

• 当我们的兴趣是机械论的可设想性时，有一个自然的倾向是用否定性的数学结果来论证不可设想性。一方面有一种想象上的失败：怎么可能有另一种机器？另一方面，具有自身模型的通用机器在理论上并无困难。现实现象是有穷的而数学却易于走向无穷，放弃无穷意味着放弃太多，但要详细说明数学的可应用性，却又十分不容易。

• 要对有关于心灵与计算机之比较的一系列问题进行分类、关联和整理。存在着计算机最终能做什么的哲学问题，以及计算机在不久的将来能有什么更好的方法的科学问题。

• 对于计算机没有任何人类所没有的局限，一切人类思维都可以机械化，等等，我们不仅不知道这样的一般陈述是否为真，还对它们的意义缺乏严肃的了解。

• 广义来说，人工智能有多种不同的领域，例如(a)模式识别：特别是信号处理和图像模式识别。(b)问题求解：特别是定理证明，启发式问题求解，人机协同（在问题求解活动中的）。(c)大脑和心灵模型：特别是自组织模型，生理建模，集成人工智能系统（机器人），人工智能编程系统和模型。(d)语言和理解：特别是问题系统和计算机理解，与人工智能相关的语言学研究。

• 人工智能还可区分出不同的进路：以大脑为中心和以心智为中心；模拟和构造。考虑所有可能的组合，我们能得到四种不同的进路。以大脑为中心的模拟是生理学导向的；而构造则探究行为和学习的简单、基本的原理，旨在找到自组织的（有适应能力的）系统。

• 根据一种用法，人工智能限于我所谓的心智过程的构造，它研究心智而非大脑，并漠视模拟问题。这一狭义的人工智能与思维模拟密切相关。它们的不同在于一个强调结果，一个强调过程。狭义人工智能的目标是用计算机尽可能好地完成智能任务，而不管它们是否是以类似于人类心理过程的方式进行的。

• 模拟和构造两种方法都有一个难以解释的元素，它将人工智能与更中性的刻画，如思维的机械化或计算机的非数字应用，区分开来。这一元素引起了更广泛的兴趣和更尖锐的争议。它的目的是找到这些具有真正价值的心理概念的机械论解释：意义、目标、理解等。它声称是一种新的、更好的心理学方法，尤其是对理论心理学而言。

• 有一种批评是说，现有的计算机无法模拟或匹敌心智，这些机器实际做和能做的不过是穷尽的搜索。并因此得出结论，数字计算机无力执行任何有趣的智能任务。人们不确定能支持或反对这个论点。

• 模拟的想法中似乎包含一种循环。一方面，理解人如何完成复杂任务是发现能做类似事情的程序的一个主要线索。另一方面，我们之所以诉诸计算机模拟，是因为我们不理解人是如何做那些工作的。答案显然是，我们对总体策略有相当好的了解，但却缺乏关于人如何工作的细节知识。复制完整的个体细节既无必要，也不可取。

• 模拟概念有一种基本的不稳定性：由于模拟只是在整体水平上进行，它依赖于每个人关于人如何在整体上活动的理论，而不具有“模拟”这个词所暗示的忠实复制的性质。

• 对模拟的一个更为严重的反驳是，在最核心的领域，即便是从整体上讲，我们也不知道心智是如何筛选、组织和找回信息的。为了机器智能的目标，获得更多的智能程序比获得在某些方面与心智表面上相似的程序更重要。

• 常见的数论一致性证明给出了一个程序，凭借它，给定任何关于一个有条件的存在陈述∀x1…∀xm∃y1…∃ynR(x1,…,yn)——其中R是递归的——的证明，我们都能找到一些十分简单的递归函数g1(x1,…,xm),…,gn(x1,…,xm)，它们满足那个条件。这已经被用来将寻找程序的任务归约为证明定理的任务。这样那个给定的陈述就被解释为想要一个程序，对于任意的作为输入的x1,…,xm，它会计算出y1,…,yn作为输出，其中y1,…,yn应当与相应的输入一起满足R。函数用g1,…,gn一起给出所求的程序。

• 思维纪要是对说出来的思维过程的记录，即被试在求解问题的同时对自己的思维活动进行报道。我们在这方面的处境很好。针对一个给定的问题类，思维纪要被从固定的一群人（一般是大学生）那里收集起来。借助“归纳”，人们得到一个计算机程序，并期望它会以与大学生类似的方式应对这些问题。这个程序相当于可接受思维纪要检验的理论。

• 此类实验有几个难点。(1)如何进行归纳？为了解释数据，人们使用了某种高阶理论的一整套装置：目标、子目标、配对，等等。这方面可能令行为主义者不快，但并不必然构成一个反驳。

• (2)计算机的作用是什么？可以想象整个实验由计算机的手工模拟来完成。我们并没有高效地使用计算机，因为我们没有利用计算机的力量来帮助解决任何单个的问题，而仅仅是用它做一些无聊的、重复性的工作。这有点像是把一台大型计算机用作加法机。

• (3)为什么不直接问自己？我们的愿望是收集各种各样的数据，从而为归纳准备好基础。目标不再是让计算机在某些问题上尽可能做到最好，而是说明某些人是如何行动的。作为机器智能，该程序过于简单，作为心理学，该实验太复杂而不能是基本的。王浩认为，对思维纪要的多样性的兴趣是逃避更困难的概念问题的一种方式，至多只能增添一些有助于打动外行人的花边。

• (4)非言语行为怎么办？我们无法准确描述我们头脑中的活动。程序意在对应心智，而其输出则对应思维纪要。一个显而易见的反驳是，即使输出确实对应思维纪要，也无法保证程序会忠实地表征内在机制。更严重的问题当然是，对于任何真正有趣的情形，我们都没有成功得到能给出正确输出的程序。

• (5)考虑一下教学问题。如果我们能从思维纪要成功设计出程序，我们就能“教”计算机与学生比赛。考虑庞加莱关于他的一些伟大数学发现的“思维纪要”。尽管它们很有启发性，我们却不相信有人能仅仅通过学习这些思维纪要成为大数学家，甚至在计算机模拟的帮助下也不行。更没有理由相信，至少在目前的条件下，相较于直接用于辅助培养数学家，我们在程序设计上能更好地利用这些思维纪要。

• 一个为使用计算机模拟方法研究心理学做辩护的论证说，问题是要找到一种语言或演算，它可用来表达或阐述解释某个人类思维或行为领域的理论。自然语言不在考虑之列，因为一门科学要成长，最终就必须发展出比普通语言所能表达的更精确的方法和概念。经典数学、符号逻辑和概率演算都不合适。通过一一排除，心理学家定会被渐渐推向这样的方向，即视计算机程序为做这件事的自然方式。

• 基于其简短历史上实际发生的那些事情，“人工智能”这个词不仅被与思维模拟相联系，还被与关于计算机很快能做什么的过分乐观的预测相联系。然而如果我们否认机器智能对人类心理学研究的直接关联，我们似乎就会失掉一种强大的吸引力，尤其是对于一般公众关于为计算机寻找新应用这整个领域的想象而言。

• 我们似乎拥有两个互补的指导原则。(1)充分挖掘现有计算机的能力：做那些对计算机而言简单但对人而言复杂的事。(2)有一些了不起的事，我们想让计算机来做，并且我们模糊地感到，它们是现有计算机或某种与之相似的东西能做的事。

• 第二个原则表明，我们应该找出计算机相对于那些遥远目标如模式识别的弱点，并努力消除这些弱点。核心任务之一是发展出关于该领域工作的一个充分稳定的价值评判标准。一个相对稳定的框架将有助于在不同结果之间做出区分，孤立地看，这些结果不会显得很有趣：我们将能判断，某些方向上的进步比另一些更重要。

• 用哥德尔的不完全性结果来证明人比机器能做更多的事，这方面的尝试有许多。但关于抽象机器的一些同类型定理，与机械程序的局限性有更直接的关系。

• 可以将图灵机视为拥有无尽的存储空间（比如一条可无限延长的存储带）的数字计算机。一个不可解问题就是一个无穷的问题类，其中每个问题都有一个“是”或“不是”的答案，并且没有图灵机能正确地回答所有这些问题，亦即每台图灵机都会对某些问题给出错误的答案或给不出任何答案，无论允许多长的作答时间。存在许多这样的不可解问题。这类数学结果是否证明机器具有一种人没有的能力缺陷？

• 如果我们能想象一个人解决一个不可解的问题类，那么它类似于想象一个如此构成的人类心灵，给定任何数论命题，他都能说出该命题是否为真。我们倾向于说，有一个这样的心灵在逻辑上是可能的，而有一台这样的机器则是逻辑上不可能的。但是要为这样的一个结论提供一个决定性的精确论证，却殊非易事。

• 倘若我们能找到一个不可解问题，人能判定其所有的情况，那么我们似乎就得到了一个关于人与机器之间关系的明确的结果。然而无穷问题却构成一个严重障碍。如果判定是在有穷时间内做出的，我们就得有某种方法能在有穷时间内涵盖无穷多的情形。如果我们使用“能力”这个抽象的概念，我们又很难指明这种能力为执行此复合（因为非递归）任务所必须满足的条件。

• 希尔伯特相信，每个数学命题最都会被人判定，或者每个有趣的数学命题最终都会被人判定。甚至布劳威尔也认为，这样的信念无法被证伪。该信念意味着，一个给定的不可解问题的所有个别情形都会被人解决。

• 这里所暗示的图景是，每代人解决一些个别情形，最终每个情形都获得解决。有人可能会想作出结论说，至少在此较弱的意义上，人比机器优越。但大自然也可以产生一代又一代的机器，或者人类设计出一代又一代的机器。我们又该如何将不可解结果应用到非由机械程序生成的一组机器上？

• 许多人想一劳永逸地证明，人比机器能做更多的事。对于这个结论，我们中的大多数人大概都是同意的。但要给出一个基于数学结果的证明，却完全是另一回事。我们可以承认，我们有一个稳定的抽象的且数学的机器概念。但是随着我们学会用机器做更多的事，那个可称之为机器的具体概念的东西会变化。

• 机器的抽象概念比其具体概念在哲学上更有意义，这绝非显然。我们怀疑，许多这么认为的人可能是受了一种顽固的科学主义的误导。

• 关于哥德尔的不完全性结果在人对机器之优越性这一点上的可能蕴意，人们已经写了很多。不完全性结果说，给定一个适当丰富的一致的数论形式系统S，我们能找到一个陈述HS，它是真的，但在S中不可证。特别地，HS可以是一个表达S的一致性的陈述Con(S)，也可以是一个表达“我在S中不可证”的陈述。人们论证说，知道这个定理的我们可以胜过一切形式系统S，并因此胜过一切定理证明图灵机，因为我们能证明HS，而S不能。

• 这个简单的论证包含一个低级的基本错误。真被等同于可证性了：这是一个非极其小心不得应用的原则。能行地给出所有包含适量数论的形式系统或（定理证明）机器的可接受的集合，这是可能的。存在一台图灵机，每当S作为输入被给定，它都能产生HS作为输出。因此如果我们抛开S的一致性问题不谈，一台机器可以给出所有的哥德尔语句（G在本系统中不可证）。

• 很容易就能证明，关于一个给定的系统是否一致的无穷问题类，是一个不可解问题。因此为了胜过每台图灵机，我需要能正确判定一个不可解问题的所有情形。

• 给定任意一个一致的候选机器S（不存在命题p，使得S能同时证明P和¬p），我能证明HS，因为S是一致的。因此我能做的比S多。这有点耍滑头的意思，因为若非有只许我的对手提名一致的候选机器这个条件，我就不知道HS。“我在每种情况下都知道HS”这个说法是可疑的，因为我所知道的全部不过是：如果S一致，那么HS。

• 当我们引入如下看法时，情况会变得更复杂：我知道我是一致的（记为A），并且因此我能证明我是一致的。

• 在忽略人生命长度的有限性的假定下，我能做的数论至少足以满足哥德尔定理所要求的条件，即足够丰富。如果我们进一步假定我能证明A，那么哥德尔定理的一个直接推论将是，我不是一台一致的图灵机，因为没有一致的图灵机能证明自身的一致性。

• 如果我们另外还假定A是真的，而不只是我能证明它，那么我也不可能是一台不一致的图灵机。但即便在这些假定下，以下可能也仍未被排除，即有某台一致的图灵机S能证明我的所有定理以及更多。HS无法在S中得到证明，但我也同样可能证明不了HS，因为我不知道S的精确描述，或者出于其他原因，我无法证明Con(S)。

• 从我能证明A这个假定，可以推出我不是一个一致的机器。而如果我们另外还假定A是真的，我们就能得到我不是机器这个更强的结论。但不管是哪种情况，都不能排除机器比我能证明更多定理这种可能性。

• 前述假设似乎产生了这样一个结论：机器只能生成所有的递归可枚举集，而我的定理的集合不是递归可枚举的，因为没有机器能恰好生成我的定理。因此尽管前述假设不能让我在证明更多定理这件事上取胜，它们却的确使我能生成一个无法机械地生成的集合，并且在此意义上，赋予我一种所有机器都不具有的能力。

• “我能证明A”这个假设是十分可疑的。首先需要论证，我用了一个与机器本质不同的证明概念。把我设想为一个定理生成机器，同时又认为我能证明我自身的一致性，这会使我们陷入与哥德尔的牢固确立的定理完全矛盾的境地。不完全性结果不排除如下这种集合的可能性：它们不是递归可枚举的，并且通过某种自然的哥德尔编码，它们包含它们自己的一致性陈述。但是我们需要一个不同的证明概念，借之可证明一个非递归可枚举的定理集。

• 从“我是一个机器”这个前提运用A导出一个矛盾，从而证明我不是一个机器，这是不可能的。A的意义不明晰，这会模糊“我是机器”这个前提的确切力量。

• 人们被引诱尝试一条不同的进路，它始于如下断言：我确实有一个组成部分C，其功能如同一个定理生成机器，它能产生足够多的数论以适用哥德尔结果。还可以声称，我能证明V是一致的。但是由于C不一定穷尽了我的机械成分，结论只能是我比C多，而非我比任何机器都能证明更多的定理。

• 假如C被认为穷尽了我的机械成分，那么关于C之一致性的额外定理必定来自别处。因此我有非机械的一部分。然而无论是测定这样一个囊括无遗的机械部分，还是证明关于C的一个真正的一致性结果，都是很困难的。

• 我们知道某些数论系统是一致的，我们还知道，当我们增加下面这种原则（记为B）来扩充这些系统时，它们仍然保持一致：（B1）如果W在S中可证，则W。这暗示了一个模糊的想法，即无论我们将系统的序列扩充到多远，我们总能看到比之更远的东西。而这自然使人想到，我们比任何机器都知道得多。

• 对这个原始而模糊的观念进行仔细考察，很快会将我们引向关于超穷计数和序数逻辑的思考。关于这些主题有一些技术性的结果，但在确立人对机器的优越性这件事上，它们无甚帮助。

• 目前我们似乎无法从不完全性结果得到任何关于人与机器之间差别的严格、明确的结论。假如算术是可完全的，那么它也将是机械地可判定的。那时我们会愿意称算术为机械的，并且不会在关于自然数的定理这个方向上，寻找机器相对于人的严格的理论局限性。

• 有些人想当然地认为，人类神经系统具有图灵机所具有的一切局限。不完全性和不可解性结果由此被称作“心理规律”。这种观点似乎有如下这样一个后果。非递归但递归可枚举集的存在表明，人设想一个行为序列的总体的能力是有根本局限性的。

• 本着类似的精神，有人半开玩笑地提出，哥德尔定理表明心理学是不可能的。我们无法理解任何比图灵机复杂的东西，因此假如我们不是图灵机，心理学就不可能。而假如我们是图灵机，哥德尔定理表明，我们对自己的认识有一些内在的局限。

• 第二不完全性定理暗示了一个高度不明确的结论，即我们无法证明数学是一致的。而大多数数学家相信如下这个同样不明确的命题：数学是一致的。

• 要使不完全性结果有任何意义，我们必须拥有一个这样的数学真概念，它不同于在某固定形式系统中的单纯的可证性，而是代表一种理想，任何给定系统中的可证性只是对该理想的一个近似。但这不排除，真与某种非形式意义的可证性等同，后者甚至可以是由形式系统的一个非形式的集合C给出，它满足：p是真的当且仅当存在C中的某个x，p在x中是可证的。之后的任务是把握这个非形式的概念或刻画C。

• 有穷主义者如艾尔布朗，或直觉主义者如布劳威尔，也可以完美地理解不完全性结果，因为有穷主义者和直觉主义者都没有承诺一个固定的形式系统。构造主义者一般接受对可证性或（构造性）真的一种更基本的直觉，形式系统只能提供对它们的不完美的近似。

• 有一个诱人的做法是，从不完全性结果得出如下结论：“自然数”这个表达式构成了“意义应该由表达式的用法来解释”这个论点的一个反例。其想法可能是，将用法或其刻画条件等同于一个给定的形式系统中的可证性。不完全性似乎表明，没有对“自然数”这个表达式的用法的任何有穷的描述，能穷尽所谓理解自然数这个概念的意义，因为理解自然数概念至少得领会真谓词对所有算术陈述的应用。

• 为了完整地刻画自然数的概念，我们需要用到这个概念本身或其他一些复杂的概念，如有穷和集合。如果问题是刻画意义和用法，那么我们对这两者都没有完整明确的刻画。因此我们并没有一个简单的论证能证明，形式系统无法胜任为数的意义提供一个迥异而明确的说明。

• 意义使用论的吸引力无疑与交流问题有关。我能观察到他人如何使用语词；而尽管我能在自己身上辨认出理解一个概念的经验，我却无法在他人身上辨认出这样的经验。由于经验是无法交流的，人们便怀疑认出这样一个经验是否应被当作真正的知识。作为公共语言之部分的语词的意义应该是公共的而非私人的。一个令人困惑的问题是可交流性概念的模糊性。也许有人会说，我们有一个公共的、稳定而丰富的自然数概念，这是一个基本事实，它应该被当作我们的起点而非争论对象。

• 哥德尔指出，人们可能会不采纳客观主义的观点，而仅仅是这样来进行他们的工作，“就好像”客观主义观点是真的。但是只是在客观主义观点被证明为富有成效之后，他们才对客观主义观点采取这种“就好像”的态度。

• 在哥德尔看来，关于心灵与机器的两个最有趣且严格证明了的结果如下：（1）人类心灵没有能力形式化（或机械化）它的所有数学直觉。如果它已经成功形式化了其中的一些，这一事实本身就会产生新的直觉知识，比如该形式系统的一致性。可以将此称为数学的“不可完全性”。而且根据迄今已证明的东西，仍然有可能存在（甚至是经验上可发现的）这样一个定理证明机器，它事实上等价于数学直觉，但无法证明它是如此，甚至也无法证明它只会产生正确的有穷数论定理。（2）或者人心超越所有机器（人心比任何机器都能判定更多的数论问题），或者存在人心无法判定的数论问题。

• 哥德尔认为，希尔伯特拒斥上述析取式的第二个析取支是正确的。假如该析取支为真，这将意味着人类理性是根本不理性的，因为它追问自己无法回答的问题，同时又断然强调只有理性能回答它们。这样的人类理性是极其不完美的，在某种意义上甚至是不一致的。

• 在已经系统、完备地建立起来的数学领域中，凭借一些完全始料不及的法则和程序，我们不仅有解决所有相关问题的方法，还能以一种极其优美和完全可行的方式解决它们。这些事实似乎为所谓的“理性乐观主义”提供了理由。

• 哥德尔指出，人们尝试提出的一些支持心灵与机器等价的证明是错的。图灵声称证明了每个能产生一无穷整数列的心智程序都等价于一个机械程序。针对此证明，哥德尔指出，这个论证不是决定性的，因为它依赖于一个假设，即一个有穷的心灵只能有有穷多个可区分的状态。图灵完全忽略了一个事实，即心灵在其运用上不是静态的，而是不断发展的。尽管在心灵发展的每个阶段，其可能状态的数量是有穷的，却没有理由认为，该数量不会在心灵发展的过程中收敛于无穷。

• 哥德尔认为，图灵的论证要有效，需要两个额外的、现今被人们普遍接受的假设：（1）没有独立于物质的心灵。（2）大脑基本像一台数字计算机一样工作。可以将（2）替换为（2’）物理定律在其可观察后果上是精度有限的。尽管哥德尔认为（2）很可能为真而（2’）几乎确定无疑，他却相信（1）是我们时代的偏见，它最终会被科学地证伪（可能是通过这个事实，即没有足够多的神经元来实现可观察的心灵活动）。

• 哥德尔相信，生物学中的机械论是我们时代的一个偏见，最终会被证伪。哥德尔认为，这方面的一个反证将是其内容大致如下的一个数学定理：在地质时间范围内，从基本粒子和场的一种随机分布出发，通过物理学定律形成一个人体，其可能性就像大气偶然地分离为它的组成成分一样低。

• 有一些目的是很难反对的：消除战争（世界和平）、减少敌意（善意待人）、减少疾病（比如找到一种治疗癌症的方法）、消灭饥饿、消灭不平等、传播审美乐趣、最大限度地增加人类幸福、增进知识、培养更多的喜好。这些是内在的目的。它们不同于工具目的，后者借助如下信念获得其合理性：工具目的会有助于某些内在目的的实现。

• 在实践中，大多数内在目的不能直接决定人类活动。我们一般不知道实现这些目的的最好方法是什么。这些目的中的许多含有基本的歧义，因此存在严重的解释问题。不同的目的经常是彼此冲突的，而且很难决定它们之间的相对优先性。我们通常不知道特定的行动对某个内在目的贡献有多大。

• 一个基本的区分是利己主义和利他主义之间的区分。理论上，每个人都赞成利他主义比利己主义好。但在实践中，有不同层面的理由支持个人对自身利益的偏重。一个人可能相信自己对人类很重要，因此为了最大限度地发挥他的正面影响力，他认为他必须好好照顾自己。

• 在许多社会中，对于那些在满足基本物质需求方面没有什么困难的人来说，最大的痛苦来自对自我的专注。或许正是在这一深层实践意义上，利己主义可以被说成是自相矛盾的。

• 考虑到这不是所有可能世界中的最好世界，人们起初倾向于认为，在理解这个世界和改变这个世界之间没有显著的差别。其想法是，一旦我们理解了这个世界的病症、病因和治疗方法，剩下的就只是齐心协力、欢欣鼓舞地按处方行事罢了。

• 我们没有也不可能有对世界的完美理解，在此理解下，本质上只有唯一一条每个人都能清楚认识到其正确性的行动路线。

• 在很多时候，我们中的许多人都会强烈感觉到，我们知道某些政府行为是错的。但我们常常不知道，自己与这种错误斗争的最有效方式是什么。

• 我们中的一些人可能还会面临这样的困境：尽管深信某特定社会的优越性，却由于个人习惯和其他类似的自身因素，不能选择到该社会中生活。在这些情况下，知识匮乏的感觉被用来支持自身的不作为，而后者实际主要是由懒惰和回避痛苦与动荡的愿望造成的。

• 更有意义的区分是为理解世界而研究哲学和为改变世界而研究哲学之间的区分。前者倾向于强调数学和自然科学，尤其是物理学，后者倾向于强调历史和社会科学。

• 在许多情况下，哲学研究的强大动力之一是对现实世界的不满足感。并且有人认为，对世界的真正理解必须包含一个让世界变得更美好的可行的纲领。

• 生活比艺术和科学更重要。知识次于行动。最核心的几个大问题，不需要更深的动机。这些问题是：（1）从现在和长远来看我应该做什么？（2）人类要让世界变得更美好需要做什么？

• 关于心灵与自然相统一的知识是一种很特别的知识，与普通所认为的（科学）知识不同。大部分普通知识被认为是帮助我们实现某些目的的手段，这些目的本身是由其他因素决定，这些因素更多地与感情和意愿有关，而不只是思维。

• 传统上有人认为，哲学知识不同于普通知识，它确实承诺了一种快乐状态，可以通过看见真理或找到正确的生活道路来实现。斯宾诺莎和庄子的例子可能属于此范畴。

• 有时人们会说，最好的解决办法是每个人都成为理性的利己主义者，其首要特征是不一心求胜，而是至少在消极的意义上多为他人着想。无论这样的理想在一个想象的世界中有怎样的优点，它似乎都没有什么直接的实践意义。

• 一个不那么激进的观点是，找到一种适用于每个个人的普遍的拯救方法。斯宾诺莎似乎相信，他已经找到了这样的方法，并且他还将此法推荐给别人。在斯宾诺莎那里，对普遍善的追求以某种方式被转化为了对真理的追求。对此可以提出的一个问题是，除了在一种假想的意义上，一个未在实践中被广泛采纳的良好生活处方，能被称为一个真正的解答吗？

• 我们中有许多人都活在虚假不实的信念中。我们在重大问题上屈服于盲目的力量，而对更有限的问题则试图保持局部的理性。我们用一些眼前的目标替代未知的终极目标，把我们的精力引向狭隘逼仄的航道，以便至少得到行使诸官能的快乐，这和玩游戏度日没什么不同，只是规则可能没那么清晰，无意义感也没那么确定。

• 人类经验被保存于文字和人的头脑中，阅读和交谈是经验唯一的外部来源，它们超越了个人与自然和人造物的相当有限的直接接触。每个哲学家通过直接接触和间接的言语交流吸收人类经验的一小部分。他积极地持续挑选他将获得的那些经验，并分阶段地予以消化和整理。最终结果是以某种方式得到一个世界观。

• 我们的身份和生活方式显然会影响我们看待这个世界的方式。除了在非常有限的领域，我们的思想无法完全超脱于我们的阶级起源和民族传统。

• 从生活理想的角度思考，人生似乎包含如下三个阶段：确定一个生活理想，努力实现这个理想，最后生活在这个理想的状态中。但在实践中，大方数人的人生并没有这样严格划分的三阶段。成为某个理想的信徒，并非易事。许多理想不把最后阶段包括在个人的生命期限内。

• 社会和自我之间的关系产生了两个与个体的行为有关的区分。第一个区分是，一个人是把自己设想为一条近乎永恒的社会道路上的一站，还是把未来设想为与过去全然有异。第二个区分是，一个人是把自己的生活看作一个更大的整体的一小分子，还是把它视为一个追求适当内在品质的孤立单元。

• 韦伯指出，我们这个时代的内部状况首先受到如下事实的制约：科学已经进入一个前所未见的专业化阶段，而且以后将一直如此。个人只有成为严格意义的专家，才能获得在科学领域达成某种杰出成就的确定意识。只有通过严格的专业化，科学工作者才能充分意识到，他已达成某种不朽的成就。

• 韦伯的评论的一项积极内容也许是这个建议：启发性的想法不如成品有价值，而只有专家才能造出成品。这并不排除某些人可能会创造出新的专业。创建一门学科X的过程不同于成为X方面专家的过程。为了创建X，人们首先要专研某个相关的领域Y。

• 如果激情投入是最终标准，专业化的必要性就绝非显然，更不必在人生的每个阶段都献身于智性工作。

• 如果只有通过专业化，激情投入才能产生严肃的结果，那么除非“严肃”这个词是通过“专业化”来定义的，这个命题仍然是可争辩的。即使真的那样定义，我们也可能会想要放弃严肃的工作，代之以有趣的工作。

• 对专业化大行其道感到疑虑的一些例子如下：(a)碎片化使生活变得贫瘠荒凉。一个人渴望对人类的知识有一个整全的观点，不管他是不是某方面的专家。既然知识可贵，不去广泛地体验它似乎是一种浪费。把自己限制在狭窄的领域内，看起来很像是在拒绝生命所赐予的最美好之物，而理解自己在宇宙中的位置，是一种内在的善。这种追求广博的倾向是自然而理性的吗？

• (b)有些人认为，专业化有利于某些类型的心灵和气质，而它们未必是最上等的。因此他们渴望改变智识生活的规则，为那些有才能但不喜欢专业化的人提供一个有吸引力的出口。这种愿望是异想天开吗？

• (c)理想情况下，一个年轻人会清楚地看到他所面临的可选项（抽象的可能路径和他个人的禀赋），并理性地选择他的人生职业。但在实践中，他的选择主要取决于偶然。一个统一的世界观会在一定程度上帮助他更理性地进行人生抉择吗？

• (d)在狭窄的领域内，同事之间可以进行有趣的讨论。但学者共同体之梦（来自不同领域的人能进行有意义的交流）可以实现吗？

• 同情统一愿望的人或许有兴趣考虑一下下面这些关于该做什么的尝试性建议：(a)想要了解一切的愿望，实际上是一种不去了解一切的愿望：不去了解所有细节，而只了解“本质”的东西。

• (b)一门内容宽泛的学科，其内部之统一与知识之统一有何种关系？如若认为前者是后者的一个先决条件，我们就需要先划出一些一般领域，并且可能要一次只关注一个领域，尤其注意其与总的统一体之间的关系。

• (c)一个建议是进行人才的再分配：鼓励对已有知识的综合和消化工作。比之于微小的新发现，也许应当更重视概要性述评和适当程度的思辨。

• (d)不同学科的从业者可以而且事实上已经组成一些团体。团体成员可以在一些一般话题上相互指导。

• (e)这里的问题还不同于还原论（比如生命过程还原为物理和化学）是否会奏效的问题。我们没有任何先验的理由预测后一问题的结果。如果我们的目标是在不久的将来获得某种统一的知识观，我们就需要同时在几个层面上工作。

• (f)哲学家们曾在多种意义上试图实现知识的统一，并取得了不同程度的成功。最近的一个严肃尝试是逻辑实证主义。其基本观点有些过于整齐。但失败的根源似乎是对该计划的后果关注不够。逻辑实证主义者们沉醉于一种整齐的知识划分方式，以为按照他们的基本原则重组知识一定会产生重要的新结果。但他们本应该更多地思考这一计划会如何影响科学家和艺术家们的实践。那样他们就会发现，倘若他们的方法被忠实地遵循，智识追求中的一切活力都会消失。

• 尽管我们不想纠缠于散乱的细节，我们却必须避免以太过抽象的形式阐述我们的问题，那样会导致我们最终把大部分时间用在澄清术语的意义上。因此一开始就追问是否存在一些心灵类型，它们无法杂交并产生可育后代，或关于物质的信念和关于心灵的信念之间是否存在一种根本的分裂，看起来是毫无益处的。如果我们能首先交流我们各自学科所“提炼出的智慧”，获得一些用以进行哲学思考的基本与料，这会更有成效。

• 为了统一知识这个目的，传统哲学家提出了一些高度灵活的原则。我们有《易经》中的阴和阳，辩证逻辑，以及辩证唯物主义。玻尔阐述了互补性的概念，它被视为对连续与离散、正义与仁爱、主体与客体、沉思与决断、实用的与神秘的、不同的民族文化等都发挥作用。这一极具启发性的观念在现阶段似乎有待更仔细的分析和阐发。

• 有一种诱人的说法是：历史寻求直言单称命题；艺术感兴趣的是假言单称命题（直言命题是直接陈述某类对象具有或不具有某种性质的命题，而假言命题是陈述某一情况是另一情况的条件的命题）；数学追求假言全称命题；而哲学则寻求直言全称命题。

• 从这样的观点看，社会科学与历史密切相关，却渴望能像自然科学那样。而自然科学究竟应与数学还是哲学归为一类，还有疑问。当我们想到关于科学定律的抽象陈述中所包含的边界条件和简化假设时，我们倾向于把自然科学和数学放到一起。但当我们提醒自己，物理学与数学之间存在巨大差异，我们对自然的了解达到了惊人的程度，我们又愿意说，科学比哲学更成功地产生了直言全称命题。人们由此还会倾向于说，哲学命题更普遍，因为它们处理作为整体的世界，而不仅是物质和运动。

• 科学和历史感兴趣的是偶然命题，而哲学和数学感兴趣的是必然命题。应严保证一个足够丰富的“必然性”概念，它允许重要的必然命题存在，同时又不抹杀必然与偶然之间的区别。

• 一切知识都是我们此刻的知识。在这个意义上，一切知识都是历史知识。当我们断定一个一般规律，我们只直接处理实例，因此科学只是压抑了其特殊参照系的历史。尽管科学和历史都对事实和规律感兴趣，但规律是科学之目的，而特殊事实是历史之目的。

• 科学家对共相在事实中的例示感兴趣，而历史学家把一个事实承认为事实，乃是通过用普遍概念来解释那个事实；纯事实和纯共相是虚假抽象。甚至还有人提出，科学不是知识而是行动，科学不是真的而是有用的：它只是用来获取历史知识的一种工具。

• 如果我们愿意摒弃“逻辑”的形式或数学意义，我们还会倾向于相信，一门遵循物理学模式的历史科学不仅在实际上不可能，在逻辑上也不可能。因为历史是一门更偏人文的学科。我们愿意接受某些历史解释，不是因为它们与物理法则一致，我们是通过更广泛地诉诸我们所认识的生活，才愿意接受它们。历史学要求我们有能力想象不同条件下的生活，把自己置于不同时代人的位置，重建并应用他们的概念和范畴。

• 专业化问题对求知事业至关重要。它涉及合作和劳动分工的诱人原则。很多时候，我们发现我们反对的实际是低级趣味而非专业化：当我们对无益于知识进步的所谓新结果表示反感时，就是这样。

• 专业化有助于集中人们的注意力，并指引人们研究的方向。它指导人们选择要注意哪些数据。根据“注意”这个词的定义，我们不能平等地注意一切事物。

• 专业化的欲望很自然地引导人们急不可耐地将模糊的想法固化为一个专业，以便其他人可以在不考虑该专业的更广泛意义的情况下致力于它。我们经常发现一些持久不懈的思考，它们虽然相对于其任务集是适宜和有趣的，但本身却显得没什么意思，因为最初的问题是生造的、构想拙劣的和无足轻重的。

• 专业化盛行的一个社会学方面的表现是，为了属于一个团体，甚至为了谋生，成为专家已经是实践上的必要条件。成为专家可以很容易地满足人们被欣赏和与人进行密切智力互动的需要。

• 为什么我们觉得关于知识统一的抽象谈论有些站不住脚？一位国王可以用他关于统一的知识尝试将他的王国带进一个理想的社会。一个亚里士多德、黑格尔或马克思式的人可以建造一个宏大的体系，并产生巨大的影响。一个庄子或斯宾诺莎式的人会用他的知识整体观来指导自己的生活。但各种档案性材料的一种干瘪乏味的统一，或一本纯洁化、统一化的教科书，有什么用呢？

• 也许人们所求的不是一个统一的知识观，而是一种能作为行动指南的哲学或世界观。不同的政治理想和民族文化之间的冲突，显示任何调和对立哲学的企图都包含一种内在的困难。承认不同的观点形成互补并以此自我安慰，似乎并不能令人满意。

• 罗素曾说，我将逐渐从抽象走向具体。这将带我们首先到达逻辑，然后是科学方法，然后是知识论和心理学，然后是形而上学。转向涉及价值判断的问题时，我们首先到达伦理学和宗教，然后是政治和社会哲学，最终到达历史哲学。

• 作为一种生活形式，罗素的生涯提出了许多不同寻常的问题。其中最基本的大概是专业化盛行的影响问题。现今从事一门严肃而受人尊重的学科，需要大量的前期准备和紧跟新发展的持续努力。因此要成为一名专业人士，本质上需要全职投入。而且在社会舆论中，非专业作家普遍被认为至多是二流知识分子。这些条件合起来，实际上就使致力于在众多领域进行写作不可能成为一种令人满意的生活。罗素以本世纪很少人能达到的满意程度克服了这一困境。

• 罗素曾说，通过跃入争论的漩涡，他获得了比许多他在剑桥的更聪明的同辈人更高的声誉。但至少在求知事业中，论战和争议看起来更倾向于阻碍而非促进进步。为了知识积累的目的，我们最好是多看到别人的长处而非短处。如果某个人的思想没有价值或内容，最好的应对办法是沉默和无视。争论倾向于把人们的注意力从接近真理的东西转移开，并陷入语词游戏之中。

• 罗素生活方式的一个方面是，他总体上超脱于学术机构和大型团体之外。在当今先进的“自由”社会中，最大的自由似乎是为那些具有商业头脑的人准备的。对于科学家和那些以文字、符号为生的人来说，摆脱机构团体实际上是不可能的，而机构团体为了保护自身利益，会对其成员施加一些限制。在遵守一些无关乎政治和基本道德原则的规定时，人们面临巨大的压力。

• 即使一个人实现了一定程度的财务独立，仅凭文字和逻辑论证对公共事务产生广泛影响的可能性也很小。除了大众传播媒体受控于错误的人这一点外，还有一个多样化的问题，眼花缭乱的读者需要自己从良莠不齐的繁多观点中进行选择。

• 罗素以其得天独厚的条件部分地解决了这一困难。他首先凭借工作刻苦、文风宜人、家世显赫以及当时英国所处的阶级社会和霸主地位等，为自己积累了雄厚的学术声望资本。然后他又具备了如下一些有利条件：广泛的阅读，快速的写作，冷峻又不失幽默，迷人的清晰性，不断插手争议性问题，不为负面批评所扰。即使有了这一切，假如他不是深深扎根于一个正在衰落但对受过良好教育的人持有明显的传统敬意的国家，他晚年的一些公共活动也仍将是不可能的。

• 思考罗素的一生，基本的参照系必须是个人主义和开明利己主义。社会制度设法把几乎所有关于个人与社会的问题转化为个人与个人的问题。似乎有必要让精力旺盛的集体主义宽容甚至鼓励某种形式的个人主义，它必须总体上有助于增进公共福祉。

• 强调从当下经验出发的现代经验主义哲学立场，无论作为科学探究之指南，还是作为实际行动之指南，都是失败的。这两方面的失败相互独立，但却有着共同的源泉，即我当下的感觉材料与真正重要之事相距甚远。

• 如今基本的非正义或许不再是每个国家内部的剥削，而是不同国家之间的经济不平等。当差距是如此巨大，富国想要保护并进一步增加其财富，穷国则希望变得不那么穷，和平与善意不占上风，也就一点儿也不奇怪。

• 关于社会和政治问题的看法，一大难题在于什么应该发生与什么将要发生之间的差别。在提出一条路线A时，人们认为A如果实现会比B好，但有一种极度危险的可能是，A会导向另一条路线C，它甚至还不如B可取。反对乌托邦激进主义的根本理由大致就是这个，即它使我们不再注意那些更现实的道路。

• 罗素对逻辑和哲学的影响是深远而巨大的。他很可能是本世纪被阅读和引用最广泛的哲学家。许多基本著作，如司寇伦关于自由变元数论的文章，艾尔布朗和哥德尔的学位论文，哥德尔论算术的不可完全性的文章，都以《数学原理》为起点。分支（直谓的）层谱的思想在集合论基础的研究中扮演重要角色，特别是关于独立性和相对一致性问题。虚假与无意义之间的对比，如类型论所表明的那样，持续吸引着职业哲学家们。

• 以下是罗素的一段感言：我也许错误地想象了理论真理，但我认为有这样一种东西并且它值得我们效忠的想法没有错。我也许把通往自由幸福世界的道路想象得短于事实所表明的，但我认为这样的世界可能且值得我们为接近它而生的想法没有错。我一生都在追求一个愿景，它既是个人的，也是社会的。个人方面：关心高尚、美好、温文尔雅的东西；即使在比较世俗的时代，也为自己保留一些生发智慧的顿悟时刻。社会方面：想象那个我们想要创造的社会，在那里个人自由成长，憎恨、贪婪和嫉妒绝迹，因为没有滋生它们的土壤。我坚信这些东西，这个世界尽管恐怖，却未能让我动摇。

• 人们对哲学有不同的理解，对哲学发生兴趣的方式也多种多样。根本的冲突是要求严格与要求全面之间的冲突。哲学的两大主题，即自然与人类生活，存在着一种分裂。虽然在讨论自然和精确科学时，保持一种至少表面上的严格，看起来很有希望，但哲学为了全面，以及证明其主张值得我们大多数人注意，必须关注生活的实际方向。

• 我们有了彼此冲突的两个理想：哲学作为一门严格的科学和哲学作为一种世界观。解决此问题的一种方式是设想一种未来哲学，它既是严格的又是全面的。但这样一种哲学最终出现的可能性有多大，我们对此很难达成一致，而且还存在一个此时此刻选择从事哪种哲学的优先性问题。哲学家之间存在巨大的差异，这取决于他们是更重视对自然的研究，还是更重视对人的研究。

• 假如一个哲学家的主要关怀是人类生活，那么还有另一个基本态度上的分歧，它关乎个人与社会之间的对比。如果他生活在一个传统观念总体稳定的社会中，他为得到一个世界观的努力，很可能是指向自我完善，或每个个体应该如何在给定的社会中过自己的生活。如果他从根本上对现存社会不满，那么还会有这样一种冲突：是先研究如何改变现有社会，还是先研究如何在现有社会中生活。

• 我们很快就能达到这样一种哲学观，它把哲学理解为关于如何缔造更好的社会的研究。有鉴于这一哲学观和当前的世界局势，我们不难理解如下的断言：当代知识分子的中心问题是如何对待马克思主义。对于整个人类而言，马克思主义目前是一股重要力量，而且马克思主义在道德判断方面有重大影响，不仅对实践活动是如此，对智识追求也是如此。

• 确定该如何对待马克思主义这个任务的艰巨性，可以从海德格尔在《关于人道主义的通信》中的一段话中得到说明：由于胡塞尔和萨特都没有认识到历史因素对于生存的本质地位，无论是现象学还是存在主义，都尚未进入与马克思主义进行建设性争论的维度。

• 如果一个哲学家的注意力限于个人，自由和选择问题就会对他有天然的吸引力。人们普遍认为，一个人应该这样进行选择，即以最大程度地发挥自己的潜能为原则。关于做选择的机制和随之而来的承诺，可以说的有很多。如果一个哲学家深感生活之痛苦，他就会认为，哲学的任务是探寻痛苦的真正来源，以及消解它们的普遍有效之法。

• 胡塞尔的一个基本信念是，他找到了一种方法，通过这种方法，我们可以逐渐获得绝对知识，并将哲学确立为一门严格的科学。

• 许多人可能会更强调我们的已有知识，并试图从中分离出较稳定的部分。承认稳定的原始事实，表明了一种混合的立场，它将基本的概念和原则与那些更依赖于特定历史条件的东西区分开来。以这样的方式，人们希望得到哲学的一个较严格和较科学的部分，在它之上可以建立不同的宏大体系，并且不只是在一个特定的时间，而是跨越漫长的历史时期。

• 从这样的观点看，胡塞尔提出的彻底重建知识的建议，给他的方法施加了过重的负担，因为他要以此方法一劳永逸地确立包罗一切的绝对知识。他小看了多年积累的已有知识。

• 有一个熟悉的大书比喻，可用于说明一些哲学问题。假设某个人知道世界上所有物体的所有运动，也知道所有人的所有心灵状态，并且假设他把他所知的一切写进了一本大书B1。首先的一个问题是，书写用的语言和解读它的方法是什么。我们可能考虑用一个坐标系给出时空位置。我们没有一本这样的大书，甚至也不知道它看起来会是什么样。还原论似乎预言了这样一本书的形式，甚至推荐了一些实现它的方法。

• 也许一本更有趣的书B2是书写实际知识的书。在这种情况下，我们显然不具有完备的知识，并且部分由于这个理由，我们需要使用一些方法来概括我们的不完备的知识。我们也许想列出一个给定语言下的、被人类接受为真的所有语句（一个无穷的集合），然后删掉那些是其他语句之后承的语句。这样的一本书与已有的优秀百科全书犹有天壤之别，后者在我们看来仍远未穷尽适合用来发展一种知识哲学的材料。就我们的目的而言，它含有太多无用的细节，条理性不够强，而且没有充分深入更基本的事物中去。作为学习人类知识的一个主要来源，它也不是特别高效的工具。

• B1意义上的一本大书的想法，有时被用来说明伦理学相对于我们关于事实的可能知识的特殊地位。人们的感觉是，尽管相对价值判断都会在B1中出现，绝对价值判断却不会在其中出现。因此不可能有伦理科学。

• 我们似乎的确同意一些普遍的绝对价值陈述，如“所有人生而平等”“非自愿的饥饿是恶的”。价值与事实之间的界线不是清楚明确的。确定基本欲求似乎会将事实与价值关联起来。

• 在实践中，对于大多数重大的人生决定，我们一般会诉诸不被普遍接受的原则。将“为进步而努力是更好的”还原为事实陈述的一种方式，是接受如下观念：在道德价值方面，历史沿着确定的方向演进（变好或变坏）。

• 在选择智识事业时，一个人会有意无意地受许多个人因素的影响，如个人好恶、生活方式、社会地位以及他关于人生和世界的一般观点。是追求影响强烈但局部、短促的东西，还是遵从温和而深厚的兴趣，这之间要做一个选择。

• 有些智识活动，如实验科学，与物理世界有更直接的接触。有些（如数学和物理学）更青睐年轻人，而其他的（如历史和文学）则承诺终生的发展。有些人喜欢局部的彻底性，另有些人则喜欢覆盖较广的范围。客观上，存在内在价值和影响力的标准。

• 在哲学中，人们渴望将不同的事物结合或联系起来，并赋予每件事物应有的地位。实现这一愿望的一个人类中心论的障碍是，不同的事物是由不同的人追求的，因而在尝试进行综合时，我们是在不确定的基础上，并很可能生成一幅扭曲的图景。

• 一个相关的问题是彼此对立的哲学同时流行的现象。常见的情况是，各方都包含一些真理。于是人们希望把那些正确的方面剥离出来，提出一幅均衡的图景。但认识到所有的方面，往往也会夺走附着于片面夸张之说的那种特别的吸引力。

• 政治被称为可行性的艺术，明智的政治判断本质上取决于对优先事项的正确认识。在科学研究中，无论是对于一个人、一门学科还是科学整体，可行性原则和优先原则也应享有支配地位：只是它们必须在一种足够广的、以科学进步的复杂概念为基础的意义上被理解。

• 优先性的概念，不仅应包含有关重要程度的规定，还应指明不同的障碍应以怎样的合理顺序依次被克服。因此它与作为智识工作的一个指导原则的可行性原则是有重叠的。

• 根据定义，可行性是一切智识工作的必要条件，因为只有通过做那些可行的事，进步才是可能的，我们只能做可能之事。在实践中，应用这些原则是不容易的。

• 哲学在其本性上必不同于科学。也许一个根本的区别在于，哲学无意获得新的发现，而只求通过健全的理智从多样化的来源中筛选出真实的观点，并将关于各种事物的真观点组织成一个可交流的整体。没有所谓的权威哲学，视角上的创新更重要。

• 科学的哲学成分对于一切科学学科的健康和魅力都至关重要。筛选和组织的能力远远不止于要有耐心。如果更多地注意习得和练习这种能力，科学生活会更令人满意。

• 对哲学的一种批评是，它只追求必然之物，并试图巧妙地回避人们对细节信息的需要。但是识别出必然之物并抛开细节，显然也是科学进步的一个本质要素。

• 与还原论有关，有人认为，没有超乎以物理和化学为典范的科学的真知识。当科学足够先进，所有哲学问题最终都会烟消云散。对哲学来说，科学或者是必要的，或者是既必要又充分的。

• 作为另一种选择，有人可能希望建立某种部分科学，它诚然只是权宜之计，但将有益于真科学的发展。我们显然有一些实际决断必须做，因此我们仍然需要研究局部的伪科学，它帮助我们做局部的“因果”预测。

• 根据一种更极端的看法，科学尽管取得了巨大的成功，却仍然是独断的，仅提供不完善的知识。我们需要的是一种全新的方法，它能把哲学确立为“科学”，并最终为我们现在所理解的科学提供一个更好的解释并在事实上改进它。这似乎正是现象学所宣称的东西。但现象学如何与科学相关，我们甚至连一点模糊的概念都没有。

• 有一种观点认为，我们可以将人工智能视为一种弱方法科学的新进展，它与数值分析相似。这里的弱方法在性质上十分笼统，包括生成与检测、启发式搜索、假设与匹配等。这些弱方法让人想起密尔的归纳法。与数值分析不同，这里的主要任务是探明如何在特定语境中应用特定方法。类比于数值分析，王浩创造了“推理分析”这个词，用以指代数学证明机械化这个领域。

• 既然物质科学取得了惊人的成功，如果一个人认为心灵科学是不可能的或至少目前不可行，那么很自然地，他会寻求一门关于机器的科学，就是关于计算机的科学，作为介于物质科学和心灵科学之间的一种东西。“计算机科学”已经成为一个相当常见的词。

• 计算机科学令人十分沮丧的一面是理论与实践的分离。要实现应用，该领域的科学工作者，需要先成熟到一定程度。要把计算机发展为一门科学还需要更多耐心和循序渐进的工作。

• 我们在原则上已有一个抽象的可计算性理论。但这个理论的缺点之一是没有将实践可行性因素考虑在内。因此该领域的定理不能令人信服地用于判定机器能做和不能做哪些人类能做的事。

• 各种知识哲学经常倾向于用数学和物理学作为思维模型。相比于文化科学，这些领域的知识在如下意义上更为绝对和客观：它们出现的历史和社会条件对其内容甚或形式都影响甚微。这将人们引向一幅诱人的累积式进步图景，它跨越多个历史时期，其中在后的时期通过填补一些空白和纠正一些错误有别于在前的时期。而且根本的概念进步是十分稀有的，即使它们真发生了，它们也不会使先前的成熟理论过时，而只会限制理论的应用范围，因此一个极度诱人的做法是，将我们的知识哲学建立在我们的数学和物理学知识所构成的稳固而丰硕的基础之上。

• 另一个区分是活动过程与最终结果之间的区分。即便在精确科学中，科学活动的过程也远不如其结果精确。哲学对知识的兴趣不应限于最终结果。尽管我们可以大体上回避社会历史细节方面的考虑，我们却渴望寻得人类心灵的一些一般特征，它们使精确科学得以可能。

• 我们可以区分前科学的哲学和后科学的哲学。前科学的哲学可以有几种不同的含义。某些哲学问题可以引出能以更科学的方式处理的精确问题。自弗雷格以来，数理逻辑的发展受到了哲学思考，尤其是关于数学基础的哲学思考的巨大影响。一门像心理学这样的科学，在其不太发达的阶段，可以从具有哲学特征的一般概念性反思和方法论反思中获益。存在一些一般的哲学问题没有科学结果可依靠，如解释问题和因果问题，尽管它们被认为是大量科学研究的基础。

• 最直接的后科学哲学是讨论新理论（如进化论和相对论）或新定理（如不完全性结果和非欧几何的存在性）的哲学意蕴。一个相关的趋势是在哲学讨论中使用技术结果或方法；虽然有时这表现了对科学事实的一种健康的尊重，但其他时候，它却可能是令人遗憾的。

• 最具雄心的后科学哲学类型，应该是对使得各精确知识领域成为可能的先决条件进行的反思和批判；而最标准的例子当然是康德的核心工作，它被视为一种关于算术、欧氏几何和牛顿力学的哲学。与之有别的另一类型的工作，是考虑那些富有哲学意义的概念，如生命、空间和时间，并且在讨论这些概念时恰当使用有关的科学结果。

• 屈服于科学的人以各种方式模仿或使用科学。有些人尝试将伦理学公理化，或运用博弈论的思想发展伦理学。有些人力图以这样或那样的方式刻画“科学精神”，并使哲学科学化。还有些人则希望从科学中提取和分离一些思想或结果，并将它们翻译为不那么技术的形式，从而使得相关主题可以独立于其科学来源被继续探求。

• 对科学进行哲学思考有许多不同的方式。其中很诱人但常常不明智的一种做法是，从某个特殊科学分支的成功理论抽引出笼统的一般结论。据说科克罗晓夫从相对论推出了灵魂不朽：当我们死去，灵魂会以光速飞行，直至复活之日到来，因为那时灵魂经验不到时间。

• 其他一些例子有：（1）量子力学决定性地驳斥了二值逻辑的有效性；（2）爱因斯坦的相对论支持伦理相对主义；（3）生物进化论证明强竞争社会是道德的；（4）与粒子说不同，波动说支持一种精神主义的、非物质主义的人生观。

• 主要由物理学的发展而产生的、一些不那么粗糙的哲学概括的例子，有操作主义和逻辑经验主义。将一般哲学建立在极少数特别令人印象深刻的科学成就之上，是十分危险之事。因为这样的概括通常是模糊而有歧义的，人们几乎不可避免地会在真实但浅显的解释（为理论辩护时）和荒谬但蛊惑力强的解释（应用理论时）之间往复游移。

• 有些科学问题很有哲学意趣，而一个科学家可以在如下意义上是富有哲学精神的：他只对自己研究领域中的那些具有哲学意义的问题感兴趣。

• 研究科学哲学的一种方式，是讨论那些在诸分支科学的公共领域或诸分支科学之外的非技术性概念和问题。这种讨论既可以充当一种简化的模型，也可以作为对地基的一种预备性清理。

• “科学化的哲学”最为人熟知的形式是现象主义纲领，它试图从感觉材料出发，借助经验归纳和一种包括集合论的广义逻辑，重建人类的知识。即便是最同情这一纲领的人，也同意它无望成功。一些人强调要说明倾向和法则性的联系，另一些人则认为，从物理事物而非感觉材料出发，看起来更为合理。

• 在毫无应用前景的情况下发展起来的张量分析、复变函数论和非欧几何，最终证明在物理学中十分有用。但这些例子与现在讨论的这类哲学工作，至少在两个方面有所不同。哲学结果一般不像数学那么严格和精确，而且哲学结果更为碎片化。试图同质地重构人类的知识，这样的研究纲领似乎注定要失败，因为它预设哲学家对知识享有一种特权。

• 蒯因指出，哲学家无法研究和修正科学与常识的基本概念图式，除非他已经有了某个可从中开展工作的概念图式，这个概念图式可能与前一个概念图式相同，也可能是另一个但同样需要哲学审查的概念图式。他可以站在系统内部对系统进行审查和改进，诉诸融贯性和简单性；但这正是理论家普遍采用的方法。

• 哲学的根本困难在于它与其他人类活动的关系，尤其是与数学和自然科学的关系。哲学想要模仿科学，却未获成功；寻求与科学发生广泛的联系，这对哲学家的能力要求又太高，且常令他们感到屈辱；与科学保持隔绝，却又会使哲学陷于贫乏。

• 对于一些人，任何哲学的最终目的都应该是一个行动纲领，它指引人们改变世界，或至少使哲学家自己能更坚定果决地行动。对于这些哲学家，知识和理解是为行动做准备的。他们认为，一旦我们理解了万物之所是并体会到万物是其所是，我们就离认识到事物应当如何不远了。

• 通常发生的事情是，人们最终意识到“吾生也有涯，而知也无涯”，并且往往为时已晚。整个一生用于求知尚且不够，根本余不下时间和精力去行动。

• 另有一些人，他们虽坦然接受他们无力行动的事实，但是仍然渴望对事物有一个全面的理解。理解意味着连接、联系和系统化。作为一种派生性结果，理解应该产生清晰性和确定性。发现或相信体系与确定性和清晰性不相容，对这些哲学家来说是一种可悲的境况。

• 科学化倾向更强烈的哲学家还震惊于如下事实，即哲学讨论的成果不具有积累性。我们发现哲学中只有对已有成果的重复和反驳，而没有对它们的扩充和完善。哲学家往往以各自的方式反复处理一个问题的所有方面，而不是分别处理问题的不同方面，然后将结果加总起来。客观标准的缺失常常更鼓励华而不实的修辞和精明机巧的手段，而不是真理和理智上的诚实。

• 同一个问题可以在不同语境下以不同的方式出现。经常发生的一种情况是，尽管一个问题没有被解决，但新问题的出现使它变得过时。

• 那些谴责哲学与科学和生活脱节的人认为，如果我们将一个哲学问题孤立于其在生活和科学中的根源，我们就几乎不可能把握它的真正本质。如果我们忽视哲学问题在哲学之外的影响，我们也不能理解哲学作为一种社会现象的意义。

• 很多时候，哲学问题是通过传统传给我们的，而在传承文化遗产的过程中，更有活力的根源被忽视，以至于问题堕落为客厅游戏，这几乎是不可避免的。

• 分析哲学的两大传统，分别被称作“建构主义的”和“自然主义的”，差不多支配了今天的英美学院哲学。

• 对于罗素和摩尔，时间是实在的，物理对象是实在的，柏拉图式的理念也是实在的。对数学基础的关注使罗素提出了他的摹状词理论，并使他声称，不仅摹状词，类和关系符号也是可在语境中消去的不完全符号。

• 罗素和维特根斯坦被认为创立了逻辑原子主义，虽然这二人在观点上有重要差别。《逻辑哲学论》中对感觉材料和未被感觉到的可感物没有偏向，对数的说明也与罗素完全不同。《逻辑哲学论》中关于数学的论述很少，要等到拉姆齐，才从其抹杀有穷域和无穷域之别的做法中推得一些逻辑结论。其结果是一种高度实在论化的类哲学，与罗素的不同。

• 逻辑实证主义者得益于马赫实证主义的影响和他们与罗素共的、数学可还原为逻辑的信念，并从《逻辑哲学论》得到了不同的结论。他们提出了证实原则：一个句子有确实的意义，当且仅当它表达的命题要么是分析的，即按照定义为真，要么是经验上可证实的。沿着这一路线工作的人，经常被称作科学主义哲学家或建构主义分析哲学家。

• 分析哲学的另一个派别通常被称为自然主义分析哲学或日常语言哲学，它受到了摩尔和后期维特根斯坦的强烈影响。通过在哲学讨论中使用日常命题，摩尔在以他自己的方式违背日常用法。后期维特根斯坦从根本上修改了摩尔那种哲学方式。根据维特根斯坦的观点，人们必须牢记短语有复杂而多样的用法。一切早已呈现于眼前，但我们需要去收集、筛选和整理语言的用法，以适应特定的哲学问题。

• 卡尔纳普的基本信念包括：（a）逻辑对哲学具有本质重要性。（b）哲学的基本任务是解释和理性重构。（c）科学原则上可以说出一切可说的东西，不会有不可回答的问题剩下。（d）人工语言的构造是重要的。我们的任务是规划语言的形式。（e）仅当一个句子或它的否定是可证实或可确证的时，它才是有意义的。（f）分析陈述和综合陈述之间存在根本区别；这一区别对方法论和哲学的讨论是实践上不可或缺的。（g）语义学对哲学具有核心意义。

• 蒯因和亨佩尔怀疑，我们是否还能在有意义的词项和无意义的词项之间做出清楚的区分。塔斯基和蒯因拒绝严格地区分逻辑真和事实真。

• 爱因斯坦认为这些科学描述无法满足我们人类的需要。爱因斯坦批评了马赫的认为感觉材料是唯一实在的观点，或者更一般地，批评了设想有某种作为一切知识之绝对基础的东西的观点。

• 哲学态度上的分歧在很大程度上是由不同的气质、品味和经历决定的。它们很难用“理性的论证”来消解，尤其是因为分歧各方的“理性”概念很可能也有对应的差异。

• 还有人可能希望诉诸长期效果或关于价值的直觉意义。但直觉和预测也可以各不相同。而且一种内部融贯的工作，即使在更广阔的意义上毫无意义，也有自我延续的倾向。

• 维特根斯坦起来为叔本华辩护而反对石里克的行为，并不难理解。如果哲学家们是在说一些有趣的话，把这些话置于“形而上学”的污名下而一概无视，是难以令人愉快的。如此定义知识，使一切科学无法处理的东西都自动被排除在知识之外，也是在循环论证。

• 有人认为，卡尔纳普之所以对逻辑主义感到满意，是因为他在弗雷格辑和康托集合论之间画了等号。数学已知可由后者导出，而前者虽不一致却看起来像是逻辑；因此数学可还原为逻辑。但在论证无穷公理是逻辑公理方面存在严重困难。卡尔纳普提出，“存在无穷多的位置或坐标”是一个逻辑或分析命题，以此作为解决方案。

• 有时卡尔纳普显得在逻辑主义和实用主义之间摇摆不定，作为实用主义者的卡尔纳普认为，如果数学能还原为逻辑，那固然很好，如果不能，那也没关系。

• 原始事实包括物理学、生物学和数学的成功，还包括数学在物理学中的应用，以及通过语言进行的人际交流。也有一些原始事实是关于传统的哲学学说和问题，这些学说和问题与它们的历史语境密切联系在一起。

• 我们还接受如下原始事实：在科学提供了普遍接受的答案的那些方面，科学所绘就的世界图景就整体轮廓而言是真实的。这并不意味着我们不允许修改科学信念。我们应该在每种情况下明确说明我们在讨论中把哪些东西当作原始事实。通过这种方式，我们可以控制对所声称的原始事实的滥用。在实践中，我们相信我们能够很容易地把自己限制于可接受的原始事实，而主要的问题是选择适当的事实。

• 尊重原始事实涉及一种基本的循环。人们认为，重要的第一步是确定哪些东西是事实，而不是不加批判地接受某些事实。王浩的主张是，要与我们的科学常识保持更紧密的接触，而避免固执的怀疑论。人们也可以一门心思地分析事实和与料的概念。但我们应该提醒自己，相比于感觉材料和刺激意义之类的哲学抽象，已有的知识体系为我们提供的事实要多许多。

• 我们想更严肃地、如其所是地对待知识。我们希望记住知识是一个结构化的整体，并避免就如下这种问题做笼统的争论：某个区别，如分析与综合的区别，究竟是程度之别，还是类型之别。在这方面，我们不会满足于一个如果加以适当解释会显得模模糊糊正确的结论，而是会去努力探究这个结论所预期的解释。

• 王浩更喜欢模糊正确的观点，而不是精确错误的观点。这一对比意味着几件事。对一个给定的问题做出错误但精确切题的解释，可以催生一些有助于澄清原始问题的思考。但在这种情况下，必须牢记该精确解释的不正确性，而避免反复陈说其与原始问题毫无关系的形式后果。一个精确但错误的学说，有时会被改造为一个从不真实的前提出发的、形式正确的假言推理。它可能由此会被宣称具有科学价值，如果不是具有哲学价值的话。一个困难是，我们几乎不可能把这个学说改造为完全精确的，如果它是假言的话。

• 我们不应绝对否认一切精确但错误的学说的价值，因为这依赖于它们有多精确，以及它们的不真实的假设有多有趣。不过看起来确实有太多人急于将形式技术滥用于不合适的情况。

• 一个原始经验是，当代哲学有回避事实的倾向，除非那事实是语言学事实。这与我们对实际知识之兴趣的一个方面有关，即我们对知识中重要的部分感兴趣。在知识哲学研究中，学习和使用所有知识分支的所有细节是不可能和无意义的，而尊重原始事实意味着对严肃知识的兴趣。

• 情况常常是，越初等的知识越有哲学意义。并且如果目的是说出真实有趣的东西，那么预设的技术性知识越少，挑战的难度也就越大。这里面确实还有点不明确之处，因为预设可能对于表达是必要的，对于理解却不是。哲学比特殊科学分支更无权被孤立。

• 尊重原始事实还意味着对无外援的纯演绎理性的一种不信任。假如我们能通过纯思想揭示一些简单的第一原理，并由它们推演出全部的知识，那当然好得很。但我们的一个基本经验是，这样的壮举从未实现。我们由此推断，它根本无法实现。作为替代，我们建议哲学思想应该对照原始事实被检验，而且不只是针对其一致性，也要针对其切题性。

• 亚里士多德的哲学包罗万象又有深度，且极大地尊重了当时已知的事实。人们易于指出，他那个时代认作事实的东西，常常不是真正的事实。这是不可避免的：从一种更先进的知识阶段看，我们今天认为的事实也有可能会变成非事实。但我们别无选择，只能从实有知识开始；一味追求绝对确定的知识，似乎不可避免会使哲学陷于与人类知识相隔绝的状态。

• 当代哲学最令王浩失望的一点是，它缺乏对一种理想的有力追求，这种理想或可称之为“事实主义理想”。

• 如果哲学阐释和第一原理研究这两个领域是以客观、累积的方式被追求，保持着密切的合作且始终本着统一的目的，那么实现一种更切题、更稳定、更充实的哲学的理想，就会成为一个有益的研究领域。

• 尊重事实带来的一个具体建议，如果不能说是其逻辑后果的话，是对知识之发生过程的兴趣。它似乎是如下愿望的自然结果：寻找与关于知识的核心问题有关的重要的原始事实。

• 发生学元素至少有三个方面：人类知识的历史、儿童的发展、知识的生物学基础。发生学考虑令人讨厌的一点是，我们缺乏干净的、无可置疑的事实，它们足够普遍而对哲学有意义。优点是可以放大细节，从而降低曲解和过度简化的危险。

• 我们的概念会随相关知识的改变而改变，一旦对一个给定的概念做出了一个判断，这个概念就此便会携带作为该判断之结果的一种含义，。我们倾向于坚持更静态的概念观，在这种概念观下，概念的意义不随我们的知识而改变。

• 关注概念及其意义的发生学方面有其实用上的优点。当我们研究一个概念在儿童那里或科学概念史上的发展时，把它意义中那些我们后来习得的、附加的部分分离出来，通常是有益的。当我们试图理解某些文本或一个新的哲学体系时，如果我们能将我们所自带的信念考虑在内，我们通常就会做得更好。强调这种发生学分析的一个更基本的理由是，它们可以帮助澄清我们自己的核心概念，并使我们更好地理解这个世界。

• 有一个关于人的十分宽松的概括是，人是使用符号的动物。这比关于人的传统定义，即人是理性的或会语言的动物，更恰当些，因为神话乃至宗教都不是理性的。而且符号是一个比语言更宽泛又更丰富的概念，因为在艺术中，符号比语言有更普遍的运超，而在科学中，符号的使用比语言的使用更能显示科学的突出特征。

• 符号使用作为一个统摄性的概括，只要是完全中立的，就不会很有信息量，而只要富含信息，就不再是中立的。这或许是所有简单的统摄性概括的共同命运。

• 知识哲学主要关心科学知识。有人认为，它造成了一种简单的唯物主义哲学，也间接催生了较精致的休谟经验论。其想法是，既然抽象在物理学中大获成功，我们不难被引向这样一幅抽象的世界图景，其中世界被表征为物质之瞬时组合的序列，或者基于对我们的知识获得过程的反思，我们可以得到一幅类似的抽象的知识图景，在这一图景下，知识不过就是对感觉印象进行归纳。

• 对于这些抽象，一个常见且合理的异议是，我们必须正确理解知识的直接缘起，尊重其全部的具体性，误把抽象当作具体，会导致图像严重失真。

• 与当代科学有关的一个一般问题是复杂性问题。许多被认为原则上已获解决的理论科学问题，在实践中依然未得到解决。人们相信正确的定律已经被找到。但是大多数系统的复杂度使我们尚无法推导出我们原则上知道的有关结果。

• 许多对现有物理定律不那么乐观的人会建议说，复杂系统可能具有这样一些性质，它们不能从描述系统成分间相互作用的定律导出。然而大部分工作中的科学家会选择否定这种整体主义观点，或至少将此否定作为其工作假设。

• 我们由此还心生一念，我们是不是应该追求一门新的学科，它致力于寻找处理各种复杂数据的方法，比如计算方法和一般系统分析。我们是在设想一种关于各种表现形式下的复杂性的一般的、系统的研究。它的一个重要子领域是计算复杂性理论。

• 另一个引人联想的主题与事实和虚构之间的对比密切相关。关于对象的陈述或真或假，而关于概念的陈述则不必或真或假。维特根斯坦似乎暗示，许多关于数的陈述都属于这后一类型。

• 人们提议，把实在论与对排中律的接受捆绑在一起。根据这一标准，所谓集合实在论者就是认为每个纯集合论陈述都满足如下条件的人：要么该陈述为真，要么该陈述的否定为真。

• 传统上，中国的知识分子似乎对人性有一种更为融贯的看法，它将日常生活与哲学、艺术、历史和政治更紧密地结合起来。每个知识分子都或多或少是个通人，其学识在几乎所有方面影响着他的生活。不同的知识分子共享一个传统，可以就他们感兴趣的几乎所有话题进行交流。他们不那么崇敬专业化，对微妙的逻辑论证缺乏兴趣，也不太渴望建立严密、宏大的体系。

• 与精确科学的接触可能会给人造成一种幻觉，认为智力工作一般在很大程度上独立于工作者的政治观点和社会地位。这种观点有严重的局限。那些被剥夺了大社群（特别是国家）认同和亲密理解的、人文社会科学领域的研究者们，会被排斥在大部分比较有益的智力活动之外，并发现他们的整个生活变得异常贫瘠。

• 如果知识分子的使命是阐述和交流思想，那么哲学和文学或可被视为通向同一目的的不同道路。文学较多地使用具体形象，而较少地使用抽象概念。学更关心事实或想象的事实，而哲学似乎更关心一般原理。当理论和体系的可能性在哲学中遭到否决时，通过一种文学和哲学相混合的方式（如《庄子》所示）进行交流，就具有了很强的吸引力。如果人们认为哲学和文学的共同目的是影响人的行为，那么文学显然在整体上比哲学更有效。

• 知识分子的唯一资本是他们所受的教育。他们组成了一个在很大程度上独立于任何社会阶级的群体，而且此群体的成员来自日益广阔的社会生活领域。他们愿意省察每一个观点，这常常伴随着无尽的踌躇和信心不足，使得他们很难成为幸福的个人。但他们对于广大社会是有价值的。

• 关于大问题，人们能说出的有趣而清楚明白的东西不多。有一个浅白粗糙的“乘积律”在起作用，它断定，关于某话题的一个评论的价值等于该话题之价值与该评论之价值的乘积。在很大程度上正是这一乘积律指导着人们进行工作领域方面的选择，并说明了我们对智识成就的一般评价。

• 除了这个理性的乘积律，有时还有一个非理性的“独立性原则”在起作用，它倾向于使一些人远离常规领域，这些领域具有明确规定的应备条件和进步标准。

• 应用到大问题上，乘积律倾向于使人们远离它们，而独立性原则倾向于使人们靠近它们。结果就是各种各样的折中妥协。其中一种做法是心系大问题的同时尽可能紧地抓住现有知识，只要后者不妨碍我们就大问题说出一些东西，哪怕只是间接的。

参考文献

王浩，《从数学到哲学》